De los números dados, ¿Cuál es la solución de la ecuaciónx3 + 3x2 - x = 6?

Hola : ) ,

Reordenando el polinomio :

x³ + 3x² - x - 6 = 0

Por tanteo voy a ir verificando que x satisface esta ecuación, para el tanteo tienes que tomar los posibles divisiores del mayor coeficiente y el término independiente, los posibles divisores de 1 y - 6 son ( 1, 2, - 2, - 3, 3, 6, - 6), haciendo el tanteo con - 2 tenemos :

x³ + 3x² - x - 6 = 0

( - 2)³ + 3( - 2)² - ( - 2) - 6 = - 8 + 12 + 2 - 6 = 0

Entonces tenemos una raíz de la ecuación, para hallar las otras raíces, podemos hacer división con todo el binomio o por el método de ruffini, me acomoda más realizar la división con el binomio entonces :

x³ + 3x² - x - 6 : x + 2 = x² + x - 3 - (x³ + 2x²)

________ x² - x - (x² + 2x)

______________ - 3x - 6 - ( - 3x - 6) _____________ 0

Con esto ya hallamos una factorización del polinomio :

x³ + 3x² - x - 6 = (x + 2)(x² + x - 3)

Pues bien, tenemos una raíz, y el nuevo factor tiene grado 2 y para encontrar sus raíces, su grado tiene que ser 1, entonces a este factor le encontraremos las soluciones mediante la ecuación cuadrática :

x² + x - 3 = 0

Mediante la fórmula de la ecuación cuadrática encontramos las siguientes soluciones :

x₁ = - 1 + √1 - 4 * - 3 / 2 = > - 1 + √13 / 2

x₂ = - 1 - √13 / 2

Luego el polinomio se factoriza de la siguiente manera :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0Ax%5E%7B3%7D%20%2B%203x%5E%7B2%7D%20-%20x%20-%206%20%3D%20%28x%2B2%29%28x-%28%20%5Cfrac%7B-1%2B%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%7B2%7D%29%28x%20-%20%20%28%5Cfrac%7B-1-%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%7B2%7D%29%29%20%20" />

Por lo tanto las soluciones son :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%20%3D%20-2%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20%0Ax_%7B2%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B-1%2B%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%0Ax_%7B3%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B-1-%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20" />

Salu2 : ).