Dados los vectores u ⃑ = - 6i ̂ + 9j ̂ y v ⃑ = - i ̂ + 9j ̂ ¿es correcto afirmar que el vector w ⃑ = - 11i ̂ - 9j ̂ es una combinación lineal de u ⃑ y v ⃑? Justificar la respuesta.
Veamos si el vector se puede escribir como combinación
lineal de los otros dos vectores, primero colocaremos los vectores de la forma
(a, b) para mayor compresión
U = ( - 6, 9) , V = ( - 1, 9) y W = ( - 11, 9)
Observemos si el vector se puede escribir como combinación
lineal de U y V.
De ser así entonces :
( - 11, 9) = λ( - 6, 9) + β( - 1, 9)
⇒ - 6λ - β = - 11 (1) 9λ + 9β = 9 (2)
Sumamos la ecuación 2 con 9 veces la ecuación 1
9λ + 9β - 54λ - 9β = 9 - 99
⇒ - 45λ = - 90
⇒λ = - 90 / - 45 = 2
Sustituyo en (1) - 6 * 2 - β = - 11
β = - 12 + 11 = - 1
Comprobamos
( - 11, 9) = 2 * ( - 6, 9) + - 1 * ( - 1, 9)
⇒ ( - 11, 9) = ( - 12 + 1, 18 - 9)
⇒ ( - 11, 9) = ( - 11, 9) Correcto
Por lo tanto la afirmación es correcta la combinación
lineal es :
2 * ( - 6, 9) + - 1 * ( - 1, 9).