1. El polinomio resultante es : P(x) = 10x ^ 2 + 18x + 42.
El resto de la división de polinomios es : Residuo : - 213.
El valor del numero real k es : k = 14.
Al factorizar el polinomio se tiene : P(x) = = (2x - 1)(x + 2)(x - 2)5.
Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones : a.
Todo polinomio tiene raíces reales.
Falso, porque puede también tener raíces imaginarias.
B. Un polinomio de grado 3 tiene a lo sumo tres raíces reales.
Verdadero, el grado del polinomio determina el máximo de raíces que puede tener dicho polinomio.
C. El polinomio P(x) = x2 – 4 es primo.
Verdadero, ya que todo polinomio de primer grado es primo.
D. Todo polinomio de primer grado tiene raíces.
Falso, tiene una única raíz.
Resolución1.
Dados, A(x) = - 5x ^ 2 + 12x - 4, B(x) = x - 2 y C(x) = 5x + 4 P(x) = A(x) - B(x).
C(x)Aplicar la multiplicación de polinomios ; B(x).
C(x) = (x - 2)(5x + 4)B(x).
C(x) = 5x ^ 2 + 4x - 10x - 8Agrupamos ; B(x).
C(x) = 5x ^ 2 - 6x - 8P(x) = ( - 5x ^ 2 + 12x - 4) - (5x ^ 2 - 6x - 8)Quitar el paréntesis ; P(x) = - 5x ^ 2 + 12x - 4 - 5x ^ 2 + 6x + 8P(x) = 10x ^ 2 + 18x + 42.
División de polinomios P(x) / Q(x) ; P(x) = - 2x ^ 4 + 5x ^ 2 - 9 Q(x) = x + 2Dividir los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador ; - 2x ^ 4 / x = - 2x ^ 3Multiplicar - 2x ^ 3 por x + 2 ; - 2x ^ 4 - 4x ^ 3Restar - 2x ^ 4 - 4x ^ 3 a - 2x ^ 4 + 5x ^ 2 - 9 ; - 2x ^ 4 + 5x ^ 2 - 9 - ( - 2x ^ 4 - 4x ^ 3) = 4x ^ 3 + 5x ^ 2 - 9Residuo : 4x ^ 3 + 5x ^ 2 - 9 = - 2x ^ 3 + (4x ^ 3 + 5x ^ 2 - 9) / x + 2Dividir los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador ; 4x ^ 3 / x = 4x ^ 2Multiplicar 4x ^ 2 por x + 2 ; 4x ^ 3 + 8x ^ 2Restar 4x ^ 3 + 8x ^ 2 a 4x ^ 3 + 5x ^ 2 - 9 ; 4x ^ 3 + 5x ^ 2 - 9 - ( 4x ^ 3 + 8x ^ 2) = - 3x ^ 2 - 9Residuo : - 3x ^ 2 - 9 = - 2x ^ 3 + 4x ^ 2 + ( - 3x ^ 2 - 9) / x + 2Dividir los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador ; - 3x ^ 2 / x = - 3xMultiplicar - 3x por x + 2 ; - 3x ^ 2 - 6xRestar - 3x ^ 2 - 6x a - 3x ^ 2 - 9 ; - 3x ^ 2 - 9 - ( - 3x ^ 2 - 6x) = 6x - 9Residuo : 6x - 9 = - 2x ^ 3 + 4x ^ 2 - 3x + ( 6x - 9) / x + 2Dividir los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador ; 6x / x = 6Multiplicar + por x + 2 ; 6x + 12Restar 6x + 12 a 6x - 9 ; 6x - 9 - (6x + 12) = - 21Residuo : - 21P(x) / Q(x) = - 2x ^ 3 + 4x ^ 2 - 3x + 6 - 21 / x + 23.
Encontrar el valor de k, siendo P(x) / Q(x) P(x) = kx ^ 3 - 3x ^ 2 + 7k - 3 Q(x) = x + 1Aplicar el teorema del resto : P(x) / (x + 1) = q(x)P(x) = (x + 1).
Q(x) ; x = - 1P( - 1) = 0 Por lo tanto evaluamos ; P( - 1) = k( - 1) ^ 3 - 3( - 1) ^ 2 + 7k - 3 = 0 - k - 3 + 7k - 3 = 0Agrupamos ; ( - 1 + 7)k = 3 + 3Despejamos k ; 6k = 6k = 14.
Factorizar el siguiente polinomio P(x) = 2x³ - x² - 8x + 4 : Factorizar es expresar un polinomio como el producto de polinomios de grado 1 ; 2x³ - x² - 8x + 4 = (2x³ - x²) + ( - 8x + 4)Factorizar : - 8x + 4Reescribir 8 como 4 .
2 = - 4 .
2x + 4Factor común - 4 ; = - 4(2x - 1)Factorizar : 2x³ - x²Aplicar propiedad de los exponentes : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E%7Bb%2Bc%7D%20%3D%20a%5E%7Bb%7D%20a%5E%7Bc%7D" />x³ = xx² = x²(2x - 1)Sustituir ; = - 4(2x - 1) + x²(2x - 1)Sacar factor común en 2x - 1 ; = (2x - 1)(x² - 4)Factorizar : x² - 4Reescribir a como 2² ; = x² - 2²Aplicamos la regla del binomio cuadrado : x² - y² = (x + y)(x - y) = (x + 2)(x - 2) = (2x - 1)(x + 2)(x - 2).