Dado un polígono de vértices A = (2, 2, 3) ; B = (4, 1, 5) ; C = (5, 4, 2) ; d = (6, 4, 2) Halle el área ; perímetro y ángulo del vértice B?

Para esto se

divide el cuadrilátero en 2 triángulos :

se calcula el área de estos dos triángulos : primero calculamos los lados y utilizando la ecuación

de que el área es el modulo del producto vectorial de los lados dividido entre

dos calculamos el área.

AB = (4, 1, 5) –

(2, 2, 3) = (2, - 1, 2)

AD = (6, 4, 2) -

(2, 2, 3) = (4, 2, - 1)

CB = (4, 1, 5) -

(5, 4, 2) = ( - 1, - 3, 3)

CD = (6, 4, 2) -

(5, 4, 2) = (1, 0, 0)

Ahora

calculamos los productos vectoriales.

ABxAD = (2, - 1, 2)

x (4, 2, - 1) = ( - 3, 10, 8)

CBxCD = ( - 1, - 3, 3) x (1, 0, 0) = (0, 3, 3)

Calculamos el

módulo de estos vectores :

| ABxAD | = \ sqrt{ ( - 3) ^ {2} + (10) ^ {2} + (8) ^ {2}}

| ABxAD | = \ sqrt{ 9 + 100 + 64} = \ sqrt{ 173}

| CBxCD | = \ sqrt{ (0) ^ {2} + (3) ^ {2} + (3) ^ {2}} = \ sqrt{ 18}

Y el área de

los triángulos es la mitad de dichos módulos

A1 = \ sqrt{ 173} / 2

A2 = = \ sqrt{ 18} / 2

Afinal = \ sqrt{

173} / 2 + \ sqrt{ 18} / 2 = 6.

57 + 2.

12 = 8.

69 U2

Como tiene 4

lados entonces es un cuadrilátero calculemos la distancia de cada una de sus

lados :

d = \ sqrt{

(a1 - a2) ^ {2} + (b1 - b2) ^ {2} + (c1 - c2) ^ {2}}

1 lado : (AB)

d = \ sqrt{ (2 - 4) ^ {2} + (2 - 1) ^ {2} + (3 - 5) ^ {2}}

d = \ sqrt{ 4 + 1 + 4}

d = \ sqrt{ 9}

d = 3 U

2 lado : (BC)

d = \ sqrt{ (4 - 5) ^ {2} + (1 - 4) ^ {2} + (5 - 2) ^ {2}}

d = \ sqrt{ (1 + 9 + 9}

d = \ sqrt{19} U

3lado (CD)

d = \ sqrt{ (5 - 6) ^ {2} + (4 - 4) ^ {2} + (2 - 2) ^ {2}}

d = \ sqrt{ (1 + 0 + 0}

d = 1U

4 lado (DA)

d = \ sqrt{ (6 - 2) ^ {2} + (4 - 2) ^ {2} + (2 - 3) ^ {2}}

d = \ sqrt{16 + 4 + 1}

d = \ sqrt{21} U

El perímetro es

la suma de estos lados :

P = 3U + \ sqrt{19}

U + 1 U + \ sqrt{21} U

P = 3U + 4.

36 U + 1 U + 4.

58 U

P = 3U + 4.

36 U + 1 U + 4.

58 U

P = 12.

94 U

Angulo de vértice

B es el angulo entre los vectores

AB y BC

AB = (4, 1, 5) –

(2, 2, 3) = (2, - 1, 2)

BC = (5, 4, 2) –

(4, 1, 5) = (1, 3, - 3)

Calculamos el

modulo de cada uno :

|AB| = \ sqrt{ (2) ^ {2} + ( - 1) ^ {2} + (2) ^ {2}}

|AB| = \ sqrt{ 9} = 3U

|BC| = \ sqrt{ (1) ^ {2} + (3) ^ {2} + ( - 3) ^ {2}}

|BC| = \ sqrt{ 19} = 4.

36U

Ahora con la ecuación

de cos del angulo tenemos

Cos λ = (

(2, - 1, 2) * (1, 3, - 3)) / 4.

36 * 3

Cos λ =

(2 - 3 - 6) / 17.

08 = - 0.

41

λ =

114.

20 °.