Dado a su curva x = t, x = t2, z = 2 / 3t3, hallar la curvatura k y la torsión T de la curva?

Veamos.

Sea r(t) = [x(t), y(t), z(t)] el vector posición de un punto de la curva.

Necesitamos la primera, segunda y tercera derivadas de r(t) respecto de t.

R '(t) = (1, 2 t, 2 t ^ 2) ; r ''(t) = (0, 2, 4 t) ; r '''(t) = (0, 0, 4)

k = |(r ' x r '')| / |r '| ^ 3, siendo x el símbolo de producto vectorial.

R ' x r '' = (4 t ^ 2, 4 t, 2) ; |r ' x r ''| = √(16t ^ 4 + 16 t ^ 2 + 4) = 2 (2t ^ 2 + 1)

|r '| ^ 3 = |√(1 + 4 t ^ 2 + 4t ^ 4| ^ 3 = (2 t ^ 2 + 1) ^ 3

Por lo tanto : k = 2 (2t ^ 2 + 1) / (2 t ^ 2 + 1) ^ 3 = 2 / (2 t ^ 2 + 1) ^ 2

T = |r ', r '', r ''| / |r ' x r ''| ^ 2 siendo el numerador un producto mixto.

|r ', r '', r '''| = 8

|r ' x r ''| ^ 2 = 4 (2 t ^ 2 + 1) ^ 2

Por lo tanto T = 2 / (2 t ^ 2 + 1) ^ 2

Revisa por si hay errores.

Saludos Herminio.