Dada la funcion : f(x) = 9x - 2x ^ 3 ; x ∈ [ - 1, 0] ¿Existe algun x ∈ tal que C cumple el teorema del valor medio? Rpta C = - √1 / 3 - recta tangente y normal - hallar punto critico - intervalo de concavidad - intervalo de inflexion.
En resumen
1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO : f'(c) = (f(0) - f( - 1)) / (0 - - 1) f'(c) = (f(0) - f( - 1)).
Lorenzaechavarr
1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO :
f'(c) = (f(0) - f( - 1)) / (0 - - 1)
f'(c) = (f(0) - f( - 1)).
(1)
f'(c) = (9c - 2c ^ 3)'
f'(c) = 9 - 6c ^ 2
f(0) = 9 * 0 - 2 * 0 ^ 3
f(0) = 0
f( - 1) = 9( - 1) - 2( - 1) ^ 3
f( - 1) = - 7
Reemplazando en (1) :
9 - 6c ^ 2 = (0 - ( - 7))
9 - 6c ^ 2 = 7
c ^ 2 - 1 / 3 = 0
(c + √(1 / 3))(c - √(1 / 3)) = 0
Como c ∈
Entonces :
c = - √(1 / 3)
2.
Cálculo del punto de la tangente :
f(x) = 9x - 2x ^ 3
f( - √(1 / 3)) = 9 * ( - √(1 / 3)) - 2 * ( - √(1 / 3)) ^ 3
f( - √(1 / 3)) = - 25 * √3 / 9
Punto intersección : (x1, y1) = ( - √(1 / 3), - 25 * √3 / 9)
Recta Tangente :
Derivando f(x) :
f'(x) = (9x - 2x ^ 3)'
f'(x) = 9 - 6x ^ 2
f'( - √(1 / 3)) = 9 - 6 * ( - √(1 / 3)) ^ 2
f'( - √(1 / 3)) = 9 - 6 * 1 / 3
f'( - √(1 / 3)) = 9 - 2
f'( - √(1 / 3)) = 7
Pendiente(m) = f'( - √(1 / 3)) = 7
Como :
(y - y1) / (x - x1) = m
(y - - 25 * √3 / 9) / (x - - √(1 / 3)) = 7
(y + 25 * √3 / 9) / (x + √(1 / 3)) = 7
y + 25 * √3 / 9 = 7 * (x + √(1 / 3))
y + 25 * √3 / 9 = 7x + 7√(1 / 3)
y = 7x + 7√(1 / 3) - 25 * √3 / 9
y = 7x - 4√3 / 9
Recta Normal :
Por definición, una recta esperpendicular a otra si el productos de sus pendientes es - 1 :
Pendiente = - 1 / f'( - √(1 / 3)) = - 1 / 7
(y - - 25 * √3 / 9) / (x - - √(1 / 3)) = - 1 / 7
(y + 25 * √3 / 9) / (x + √(1 / 3)) = - 1 / 7
y + 25 * √3 / 9 = - (1 / 7) * (x + √(1 / 3))
y + 25 * √3 / 9 = - x / 7 - √(1 / 3) / 7
y = - x / 7 - √(1 / 3) / 7 - 25 * √3 / 9
y = - x / 7 - 178√3 / 63
3.
Derivando f(x) :
f'(x) = (9x - 2x ^ 3)' = 0
f'(x) = 9 - 6x ^ 2 = 0
0 = 6x ^ 2 - 9
0 = x ^ 2 - 9 / 6
0 = x ^ 2 - 3 / 2
0 = (x + √6 / 2)(x - √6 / 2)
x1 = - √6 / 2
x2 = + √6 / 2
Punto Crítico 1 :
Cuando x = - √6 / 2
f( - √6 / 2) = 9( - √6 / 2) - 2( - √6 / 2) ^ 3
f( - √6 / 2) = - 3√6
Punto Crítico 1 es( - √6 / 2, - 3√6).
Punto Critico 2 :
Cuando x = + √6 / 2
f( + √6 / 2) = 9( + √6 / 2) - 2( + √6 / 2) ^ 3
f( + √6 / 2) = + 3√6
Punto Crítico 2 es( + √6 / 2, + 3√6).
Creo que esta es la respuesta.
Hallar los puntos de una funcion que esten paralela a la recta tangente se realiza atrves de las DERIVADAS que evaluan un punto con respecto a la tangente se pueden hallar con limites de la siguiente manera. F´(x) lim =…