Una función f(x) es creciente en un intervalo (a, b) si a medida que x aumente f(x) también aumenta y es decreciente si a medida que x aumenta f(x) disminuye, la función dada f′(x) = (x−5)(x + 6)(x−10) los intervalos donde la función f(x) es creciente y decreciente son : Decreciente en : ( - ∞, - 6) U (5, 10)Creciente en : ( - 6, 5) U (10, ∞) Explicación paso a paso : Función creciente : una función f(x) es creciente en un campo F si se cumple que si a > b entonces f(a) > f(b) ∀ a, b ∈ FFunción decreciente : una función f(x) es decreciente en un campo F si se cumple que si a > b entonces f(a) < f(b) ∀ a, b ∈ FPuntos críticos : El punto critico de una función es un punto donde la primera derivada de la misma sea cero, estos puntos son los candidatos a mínimos y máximos de funciones, aunque en ocasiones son puntos sillas.
Criterio de la primera derivada para funciones crecientes y decreciente : Si una función es continua en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b) además f'(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b) entonces la función es decreciente en [a, b]Si una función es continua en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b) además f'(x) > 0 0 ∀ x ∈ (a, b) entonces la función es decreciente en [a, b]Criterio de la segunda derivada para mínimos y máximos : sea x * un punto critico de f(x) y sea f''(x) la segunda derivada, entonces si : f''(x * ) < 0, x * es un máximo localf''(x * ) > 0, x * es un mínimo localTenemos la funciónf′(x) = (x−5)(x + 6)(x−10)Igualamos a cero la primera derivada : f′(x) = (x−5)(x + 6)(x−10) = 0⇒ x = 10 ; x = - 6 ó x = 5Estos son los puntos críticos, la función es continua y derivable en R, veamos como es el signo alrededor de ellos de la primera derivada, usando el método del cementerio : Función / intervalo - ∞ - 6 5 10 ∞(x - 5) - - + + (x + 6) - + + + (x - 10) - - - + (x - 5) * (x + 6) * (x - 10) - + - + Por lo tanto, por criterio de la primera derivada : ( - ∞, - 6) es decreciente( - 6, 5) es creciente(5, 10) es decreciente(10, ∞) es crecienteComprobemos demostrando que : - 6 es un mínimo local, 5 es un máximo local, 10 es un mínimo local La segunda derivada es : f'′(x) = (x + 6)(x − 10) + (x − 5)(x − 10) + (x −5)(x + 6)Evaluamos en los puntos dados : x = - 6 ⇒ f''(x) = ( - 6 + 6)( - 6 − 10) + ( - 6 − 5)( - 6 − 10) + ( - 6 − 5)( - 6 + 6) = 176 > 0 es un mínimo localx = 5 ⇒ f''(x) = (5 + 6)(5 − 10) + (5 − 5)(5 − 10) + (5 − 5)(5 + 6) = - 55 < 0 es un máximo localx = 10 ⇒ f''(x) = (10 + 6)(10 − 10) + (10 − 5)(10 − 10) + (10 − 5)(10 + 6) = 80 > 0 es un mínimo localDada f′(x) = (x−5)(x + 6)(x−10) los intervalos donde la función f(x) es creciente y decreciente son : ( - ∞, - 6) U (5, 10) es decreciente y ( - 6, 5) U (10, ∞) es creciente Para más información puedes visitar : Criterio de la segunda derivadabrainly.
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Lat / tarea / 12664314Asignatura : MatemáticaNivel : Universidad.