Cuantos números de cuatro cifras existen de modo que tengan por lo menos dos cifras iguales?

Respuesta : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=4464" /> números.

Explicación paso a paso : Pensemos en dos conjuntos de números que son la cantidad total de números de cuatro cifras que existen y la cantidad de número de cuatros cifras en los que no se repita ningún dígito, esto es : La cantidad total de números de 4 cifras, estos números son de la forma <img src="https://tex.z-dn.net/?f=acbd" />, donde <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a" /> es el primer dígito y así sucesivamente.

Para este caso : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a" /> puede ser cualquier número menos el cero, es decir 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

O sea tiene 9 opcionesY el resto (<img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%2C%20c%2C%20d" />) sí pueden ser cero, o sea, cada uno de ellos tiene 10 opciones.

Por lo que la cantidad total de números de 4 cifras que podemos armar es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=9%2A10%2A10%2A10%3D9000" />Ahora, de toda esta cantidad debemos quitar los números en los que no se repite ninguna cifra, para calcular estos, tenemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a" /> al igual que en el anterior caso puede ser cualquier número menos el cero.

O sea también tiene 9 opciones.

Pero los otros ya no son iguales, veamos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b" /> antes tenía 10 opciones porque se incluía al cero, pero como ya no se pueden repetir dígitos entonces ya tiene una opción menos, que es el dígito que se usó en <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a" />, por lo que en este caso, tiene 9 opciones.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=c" /> antes tenía 10 opciones, pero ya gastamos dos de esas, una en [img = 10] y otra en [img = 11] por lo que le quedarán 8 opciones.

Y finalmente a [img = 12] le quedarán 7 opciones no más.

Esto es : [img = 13]Ahora, si restamos del total de 9000 números de 4 cifras los 4536 número de 4 cifras en los que no se repite ningún dígito, entonces obtendremos los números de 4 cifras en los que al menos un dígito se repite, o sea que tiene por lo menos dos cifras iguales : [img = 14]Espero haberte ayudado, éxitos con tu estudio.