Cuantos divisores puede tener un número?

Hemos visto que los números primos solamente tienen 2 divisores.

Vamos a estudiar cuántos divisores tiene un número compuesto.

Todo número natural N se puede descomponer en factores de forma única, quedando de la forma N = aα·bβ·cγ·dδ.

Donde a, b, c, d, .

Son números primos (1, 2, 3, 5, 7.

) y α, β, γ, δ, .

Sus exponentes.

Según esto el número de divisores que tiene el número N es : (α + 1)(β + 1)(γ + 1)(δ + 1).

Es decir : se suma una unidad a cada uno de los exponente que tenga el número y se hace el producto de ellos.

Ejemplo 1 : Halla cuántos divisores tiene el número 84.

Su descomposición factorial es : 84 = 22·3·7 ; el número de divisores es : (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3·2·2 = 12.

Recordar que el 3 y el 7 tienen exponente 1 (aunque no se pone).

Ejemplo 2 : Determina cuántos divisores tiene 250.

Descompuesto en factores queda : 250 = 2·53 ; luego el número de divisores será : (1 + 1)(3 + 1) = 2·4 = 8.

Ejemplo 3 : ¿cuántos divisores tiene 216?

Si hacemos su descomposición en factores resulta : 216 = 23·33 ; aplicando la fórmula obtenemos el número de divisores : (3 + 1)(3 + 1) = 4·4 = 16.

Ejemplo 4 : ¿cuántos divisores tiene el cuadrado de un número primo?

Sea p un número primo cualquiera.

Su cuadrado será p2, que precisamente es su composición factorial.

Luego el número de divisores es (2 + 1) = 3.

Estos tres divisores son : 1, p y p2.