¿cuantas fracciones propias e irreductibles de denominador 24 existen?

Esto se saca así

factorizas

24 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

y del 1 al 720 hay 720 números

primero vamos a contar cuantos numero son reducibles

A = los múltiplos de 2 = 24 / 2 = 360

B = los múltiplos de 3 = 24 / 3 = 240

C = los múltiplos de 5 = 24 / 5 = 144

D = los múltiplos de 6 = 24 / 6 = 120

ya que se cuentan en A y B

como ejemplo el 6, esta en A y B

E = los múltiplos de 10 = 720 / 10 = 72

que se cuentan en A y C

como ejemplo el 10 esta en A y C

F = los múltiplos de 15 = 720 / 15 = 48

que se cuentan en B y C

Como ejemplo el 15 esta en B y C

G = los múltiplos de 30 = 720 / 30 = 24 que se restaron en D, E y F

como ejemplo el 30 se conto A, luego se conto en B y luego se conto en C

se resto en D y se resto en E y se resto en F así 1 + 1 + 1 - 1 - 1 - 1 = 0

por eso se hace esta cuenta

así que la cantidad de números reducibles es

A + B + C - D - E - F + G =

360 + 240 + 144 - 120 - 72 - 48 + 24 = 528

entonces el numero de fracciones irreducibles es

720 - 528 = 192.