Cuantas clase de homotecia existen?

Hola :

Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor.

Es una amplificación.

Su definición rigurosa es vectorial :

Definición

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K.

Sea Ω un elemento (visto como un punto) de E, y kεK un escalar.

Propiedades

La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva :

el alineamiento : las imágenes de puntos alineados son alineados : (A, B, C) y (A', B', C') en la figura

el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro : la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes.

En la figura, B es el centro de [A ; C] y por lo tanto B' es el de [A' ; C']

el paralelismo : dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas.

En la figura (BE) / / (CD) porque (BE) / / (CD).

Además la homotecia conserva :

el cociente de longitudes : A'C' / B'E' = AC / BE en la figura

los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos.

Es obvio en la figura.

Más aún :

La imagen de una recta es otra recta paralela.

Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.

Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E : todos los puntos son fijos)

Si k ≠ 0, hΩ k admite como trasformación recíproca hΩ 1 / k.

(cuando k = 0, no es biyectiva)

Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales : hΩ k o hΩ k' = hΩ k·k'.

Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k' ≠1, y una traslación sino.

Se dice que el conjunto de las homotecias y las translaciones forman un grupo.

K = - 1 corresponde a la simetría de centro Ω, o una rotación al rededor de Ω de ángulo π radianes (180·)

|k| > 1 implica una ampliación de la figura.

|k| < 1 implica una reducción.

K < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.

Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas.

De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.

Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transfomra en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A.

Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante.

En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.

Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia.

En este caso, la razón de la homotecia es negativa.