Cuales son los principales artificios matemáticos?

Jaja artificios matemáticos hay muchísimos.

Yo suelo usar seguido el de multiplicar y dividir por un mismo número, en fracciones, por ejemplo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%28%20%5Cfrac%7B4%7D%7B4%7D%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7B8%7D%7B12%7D%20" />

Esto cuando quiero tener fracciones con el mismo denominador.

Otros artificios en las integrales, cuando necesitamos un 2 por ejemplo para hallar la derivada de la función :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%282x%29" />

Luego.

En trigonometría :

Si tengo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20-%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20" />

Le sumo 1 y le resto 1 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%20-%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20-%201%20%3D%20%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20-%201" />

También cuando tienes una raíz en el denominador, multiplicas arriba y abajo por el denominador.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B%20x%20%7D%20%7D%20%28%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%7Bx%7D%20" />

Y muchos otros, que los aplicas cuando ves el ejercicio, es cosa de jugar con los números, no que jueguen contigo jaja.