¿cuales son los elementos d una funcion cuadratica y su definicion ?

Función Cuadrática.

Características

Una función de la forma :

f (x) = a x ² + b x + c

con a, b y c pertenecientes a los reales y a diferente de 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman :

ax2 + bx + c = 0

ax2 termino cuadratico

bx termino lineal

c termimo independiente

si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Estas curvas tienen ciertos elementos que la identifican

Raíces

Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0.

Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.

Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en :

Prueba con el simulador anterior como varían las raíces de la función cambiando los valores de los términos

Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces

ax² + bx + c = 0

Pero para resolver ax² + bx + c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante.

Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula :

al resultado de la cuenta b2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades :

Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles.

Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.

Si b2 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.

Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación :

1er caso : ax2 + bx = 0

2do caso : ax2 + c = 0

Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical.

Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea

Vértice

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos xv vale :

Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.

En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación).

Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera :

Concavidad

Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa :

En el siguiente simulador cambia los valores de a, dándole valores positivos y valores negativos.

También suele decirse que :

Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.

Si a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.