¿cuales son las propiedades de los poligonos?

PolígonoUnpolígonoes una figuraplana(bidimensional) cerrada con lados rectos.

Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

RegularUn "polígono regular" tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales.

Si no, esirregular.

Pentágono regularPentágono irregular

Ángulo interiorEl ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula : (n - 2) × 180° / nPor ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es : (8 - 2) × 180° / 8 = 6×180° / 8 = 135°

Y el de un cuadrado es (4 - 2) × 180° / 4 = 2×180° / 4 = 90°

Ángulo exteriorLos ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman180°.

Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente180° - ángulo interiorEl ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es180° - 135° = 45°

El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180° - 120° = 60°

DiagonalesTodos los polígonos (menos los triángulos) tienendiagonales(líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados).

El número de diagonales esn(n - 3) / 2.

Ejemplos : un cuadrado tiene 4(4 - 3) / 2 = 4×1 / 2 = 2diagonalesun octágono tiene 8(8 - 3) / 2 = 8×5 / 2 = 20diagonales(Nota : esto vale para polígonos regulareseirregulares)

Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema .

"Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así : La circunferencia "exterior" se llamacircunscrita(a veces también "circuncírculo"), y conecta los vértices del polígono.

La circunferencia "interior" se llamainscrita(a veces también "incírculo"), y toca cada lado del polígono en el punto medio.

El radio de la circunferencia circunscrita es también elradiodel polígono.

El radio de la circunferencia inscrita es elapotemadel polígono.

FórmulasSi tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo cortamos por la mitad, tenemos un triángulo pequeño que contiene toda la información importante : (Nota : los ángulos son enradianes, no engrados)El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usarseno, coseno y tangentepara ver las relaciones entre el lado, el radio, el apotema y "n" : sin(π / n) = (Lado / 2) / RadioLado = 2 × Radio × sin(π / n)cos(π / n) = Apotema / RadioApotema = Radio × cos(π / n)tan(π / n) = (Lado / 2) / ApotemaLado = 2 × Apotema × tan(π / n)Hay muchas más relaciones como estas (casi todas son "reordenamientos"), pero con estas nos vale por ahora.

ÁreaAhora es fácil calcular el área.

¡sólo sumar las áreas de todos los triángulos!

Elárea de un triánguloes la mitad de la base por la altura, así que : Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado / 2)Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que : Lado = 2 × Apotema × tan(π / n)Así que : Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Apotema × tan(π / n)) = ½ × Apotema2× tan(π / n)Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n entodo el polígono : Área del polígono = n × Apotema2× tan(π / n)¡La verdad es que es una fórmula muy simple!

Otras fórmulas del áreaSi no sabes cuánto mide el apotema, podemos sacar fórmulas con el radio y el lado : Área del polígono = ½ × n × Radio2× sin(2 ×π / n)Área del polígono = ¼ × n × Lado2 / tan(π / n)Tabla de valoresPodemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1" : NombreLados

(n)FiguraÁngulo interiorRadioLadoApotemaÁreaTriángulo

(o trígono)360°11.

732. (√3)0.

51. 299.

(¾√3)Cuadrilátero

(o tetrágono)490°11.

414. (√2)0.

707. (1 / √2)2Pentágono5108°11.

176. 0.

809. 2.

378. Hexágono6120°110.

866. (½√3)2.

598. ((3 / 2)√3)Heptágono

(o septágono)7128.

571°10.

868. 0.

901. 2.

736. Octágono8135°10.

765. 0.

924. 2.

828. (2√2).

Pentacontágono50172.

8°10.

126. 0.

998. 3.

133. GráficoY este es un gráfico de la tabla, con el número de lados ("n") de 3 a 30.

Fíjate en que cuando "n" crece, el apotema tiende a 1 (igual al radio) y el área tiende aπ = 3.

1416.

, como una circunferencia.

¿A qué tiende el lado?