Cuales son las operaciones matemáticas abiertas y las operaciones matemáticas cerradas?

Entopología, unafunción abiertaes unafunciónentre dosespacios topológicoscuando laimagende unconjunto abiertoes un conjunto abierto.

Es decir, una funciónf : X→Yes abierta si para cualquier conjunto abiertoUenX, la imagenf(U) es abierta enY.

Asimismo, unafunción cerradacumple que la imagen de unconjunto cerradoes un conjunto cerrado.

Obsérvese que ni las funciones abiertas ni las cerradas requieren sercontinuas.

Aunque sus definiciones parecen naturales, las funciones abiertas y cerradas son mucho menos importantes que las funciones continuas.

Una funciónf : X→Yes continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto deYes abierto enX, es decir : si la pre imagen de cada conjunto cerrado deYes cerrado enX.

Deberá cumplir que es biunívoca, continua y cerrada.

Reciben esta denominación las formas que se muestran continuidad de contornos en su perímetroSiempre que tengamos unproductode espacios topológicosX = ΠXi, entonces las proyecciones naturalespi : X→Xison abiertas (así como continuas).

Puesto que las proyecciones de losfibradosy cubrimientos son local mente proyecciones naturales de los productos, éstos son también funciones abiertas (nótese que las proyecciones del producto no necesitan ser cerradas, considérese por ejemplo la proyecciónp1 : R² →Ren el primer componente ; A = {(x, 1 / x) : x≠ 0} es cerrado enR², perop1(A) = R - {0} que no es cerrado).

A cada punto de lacircunferencia unidadpodemos asociar elánguloque forma el eje Xpositivocon el radio que une dicho punto con el origen.

Esta función de la circunferencia unidad alintervalosemi - abierto [0, 2π) es biyectiva, abierta, y cerrada, pero no continua.

Esto muestra que la imagen de unespacio compactobajo una función abierta o cerrada no necesita ser compacta.

También obsérvese que si consideramos esto como función de la circunferencia unidad a los números reales, entonces no es ni abierto ni cerrado.

Especificar elcodominioes esencial.

La funciónf : R→Rconf(x) = x² es continua y cerrada, pero no abierta.

Lafunción parte enteradeRaZes abierta y cerrada (porqueZtiene la topología discreta).

Este ejemplo muestra que la imagen de unespacio conexobajo una función abierta o cerrada no necesita ser conexa.