Cual es la regla de la potencia?

La funciónH(x) = (3−x)4puede ser vista como la composición de dos funciones : f(x) = x4yg(x) = 3−x.

Puedes verificar queH(x) = f(g(x)).

Observa que en este caso, la función externa, f, es una potencia.

Este tipo de función pertenece a la familia de funciones escrita de manera general como(g(x))nabarcan funciones con radicales y funciones racionales con numerador igual a 1.

Podemos derivarlas usando la regla de la cadena.

Pero, como potencias de funciones son un tipo frecuente, se prefiere establecer una fórmula general para derivarlas, permitiendo identificarlas con facilidad y obtener la derivada claramente.

REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA

(Regla general de las potencias)

La regla de la cadena la podemos combinar con la regla de la potencia dando origen a la regla de la potencia generalizada.

((g(x))n)′ = n(g′(x))n−1g(x)

ANIMACIÓN

EJEMPLOS SENCILLOS DE CÓMO DERIVAR USANDO LA REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA

En la animación mostramos varios ejemplos de cómo aplicar la regla de la potencia generalizada para obtener la derivada.

Ejercicios para después del video

Use la regla de la cadena en su versión de potencia generalizada para obtener las derivadas indicadas1.

1)((x4 + 3x2−3x)3)′1.

3)((1x2−3x + 2)3)′1.

5)(7x8−4x−−−−−−−√)′1.

7)(18−5x√)′1.

2)((2x3−2x)−2)′1.

4)(1(x2−3x + 2)3)′1.

6)((7x8−4x)3−−−−−−−−−√)′1.

8)(1(8−5x)3√)′Pulsa el botón para ver las respuestasANIMACIÓN

EJEMPLOS MÁS COMPLICADOS

En la animación mostramos un ejemplo donde la derivada interna es un poco más complicada.

Conviene en ejemplos más dicíficiles hacer el planteamiento de la derivada, dejando algunas derivadas indicadas para en la siguiente igualdad analizarlas y proceder a derivarlas.

Ejercicios para después del video

Derivar las siguientes funciones2.

1)f(x) = ((x4 + 3)x + 1−−−−√)3 ; 2.

2)g(x) = 2 + x−−√−−−−−−√Pulsa el botón para ver las respuestasANIMACIÓN

EJEMPLO EN QUE ESTÁ ENVUELTA LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN

Cuando quieras derivar una expresión considera primero reescribir la expresión, luego analiza la expresión, si es una suma, producto, cociente, potencia, etc.

Entonces, aplica la regla, dejando en un principio las derivadas indicadas, en las siguientes igualdades, vuelve analizar las expresiones a derivar para entonces usar la regla correspondiente.

Ejercicios para después del video

Encontrar la función derivada de cada una de las funciones dadas.

Simplificar.

3. 1)f(x) = x3(1 + 2x)2−−−−−−−−√5 ; 3.

2)g(x) = (1 + 3x)2x + 2−−−−√

Pulsa el botón para ver las respuestasANIMACIÓN

EJEMPLO EN QUE ESTÁ ENVUELTA LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN

Al considerar reescribir, podemos obtener la derivada usando varios procedimientos.

Ten en mente los pasos que te llevarían uno y otro procedimiento, escoge el que te parezca más sencillo, teniendo presente las recomendaciones.

Recuerda luego de derivar, simplificar la expresión resultante.

Ejercicios para después del video

Hallar la derivada de las funciones dadas.

Simplificar4.

1)g(x) = (2x + 1)23x−24.

2)h(x) = x + 1√(1−x)2

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EjemploFunciones que pueden ser derivadas usando la regla de la potencia generalizada.

H(x) = 3x−1−−−−−√yy = 1x2 + 3pueden ser escritas comoh(x) = (3x−1)1 / 2yy = (x2 + 3)−1.