Cual es la raíz cuadrada de 3 dividido entre 1?

¿Cuál es la raíz cúbica de 3?

No lo sabemos, por lo tanto, es una incógnita, que llamaremos x,

.

. _

∛3 = x

elevando al cubo toda la igualdad resulta :

3 = x³

Restando 3 a cada miembro resulta :

0 = x³ – 3

es decir,

x³ – 3 = 0

Un teorema dice que, todas las ecuaciones de la forma

x³ + a = 0 .

❶

en donde a es un número real, tienen una raíz real y dos complejas conjugadas, y que la real vale :

.

. . .

. ___

x₁ = ∛ – a

aplicando a nuestro caso :

.

. . .

. _____

x₁ = ∛ – (– 3)

.

. . .

. __

x₁ = ∛ 3 ≈ 1, 44224957.

Continúa el teorema diciendo que, las otras dos raíces se obtienen buscando las raíces del trinomio de 2.

º grado que resulta de dividir la expresión ❶ entre x – x₁ .

Aplicación de esto último :

.

. . 1.

. . 0.

. . 0.

. . .

–3

. .

. . .

. ∛3 .

. ∛9 .

. . 3

∛3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

.

. . 1.

. ∛3.

∛9. .

. / / 0

Luego el trinomio de 2.

º grado es :

.

. . .

. _. .

. . _

x² + ∛3 x + ∛9 = 0

Resolviendo,

.

_. __________

.

– ∛3±√ ∛9–4•1•∛9

x₂, ₃ = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

.

2 • 1

.

_. _____

.

– ∛3± i√ 3 ∛9

x₂, ₃ = - - - - - - - - - - - - - - - -

.

2

. __.

____

x₂ = –0, 5 ∛3 + i 0, 5√ 3∛9

.

__. ____

x₃ = –0, 5 ∛3 – i 0, 5√ 3∛9

En resumen :

no hay una única respuesta a tu pregunta :

no sólo 1, 44224957.

Es una raíz cúbica de 3, sino también las dos complejas conjugadas que acabamos de ver.

Otra manera de hacerlo :

Escribimos 3 en forma polar, luego polar con todos sus argumentos :

3 ⇒ 3

.

. . .

. 2πk

Busquemos las raíces cúbicas de 3 :

.

. ___

∛3.

. . = s ⇒

.

. 2πk.

. . β

3.

. . = s³

.

2πk. .

3β

CÁLCULO DEL MÓDULO s

.

. . .

. . .

. . .

__

3 = s³ ⇒ s = ∛3

CÁLCULO DE LOS ARGUMENTOS

Hay infinitos, pero esencialmente distintos sólo hay tres, para sendas tres raíces cúbicas que tiene el número natural 3.

2π - - - - • k = β

3

k = 0 ⇒ β = 0

k = 1 ⇒

.

. . 2π

β = - - - -

.

. . 3

k = 2 ⇒

.

. . 4π

β = - - - -

.

. . 3

LAS RAÍCES CÚBICAS DE 3,

(∛3)₀

(∛3)

.

. . 2π

.

. . - - - - -

.

. . .

3

(∛3)

.

. . 4π

.

. . - - - - -

.

. . .

3.