Cual es el teorema de moivre?

Hola

Para cualquier complejo, tenemos

z = x + i y

Si pasamos a coordenadas polares

z = r cos(a) + i r sen(a)

ó

z = r (cos(a) + i sen(a))

donde

r : distancia al origen (positiva ó nula)

a : ángulo medido en sentido antihorario desde el eje x positivo (entre 0 y 2 pi rad)

El teorema de De - Moivre nos indica que

(cos(u) + i sen(u) ) ^ n = cos(n * u) + i sen(n * u)

Supongamos que la raíz de

z ^ 2 - 8 = 0 (incógnita compleja)

esté en su forma polar

z = r (cos(a) + i sen(a))

Entonces

z ^ 2 = r ^ 2 (cos(a) + i sen(a)) ^ 2

Por De - Moivre

z ^ 2 = r ^ 2 (cos(2a) + i sen(2a))

ó

z ^ 2 = r ^ 2 cos(2a) + i r ^ 2 sen(2a)

Según la ecuación original

z ^ 2 = 8

es decir

r ^ 2 cos(2a) + i r ^ 2 sen(2a) = 8

Igualamos la parte real e imaginaria

1) r ^ 2 cos(2a) = 8

2) r ^ 2 sen(2a) = 0

El número r sólo se anula para el complejo z = 0

Eso significa que deducimos de 2)

sen(2a) = 0

Esto se da para

2a = 0

2a = 180°

2a = 360°

2a = 540°

2a = 720°

etc.

Obsérvese que consideramos hasta 720° porque tenemos ángulo doble

y la mitad de 720° nos da 360°

Deducimos posibles valores de a

a = 0°

a = 90°

a = 180°

a = 270°

a = 360°

etc.

Ahora, remplazamos en la ecuación 1)

y debemos tener resultados válidos para r (número positivo, nulo sólo para z = 0)

1) r ^ 2 cos(2a) = 0

a = 0°

r ^ 2 cos(0°) = 8 - - - > r ^ 2 = 8 - - - > r = √8

a = 90°

r ^ 2 cos(180°) = 8 - - - > - r ^ 2 = 8 - - >r ^ 2 = - 8 - - - - >Valor de a NO VALIDO

a = 180°

r ^ 2 cos(360°) = 8 - - - > r ^ 2 = 8 - - - > r = √8

a = 270°

r ^ 2 cos(540°) = 8 - - - > - r ^ 2 = 8 - - >r ^ 2 = - 8 - - - - >Valor de a NO VALIDO

a = 360°

r ^ 2 cos(720°) = 8 - - - > r ^ 2 = 8 - - - > r = √8

etc.

Los únicos valores válidos son

a = 0°

a = 180°

a = 360°

etc.

Los complejos solución son

z1 = √8 (cos(0°) + i sen(0°)) = √8(1 + i 0) = + √8

z2 = √8 (cos(180°) + i sen(180°)) = √8 ( - 1 + i0) = - √8

z3 = √8 (cos(360°) + i sen(360°)) = √8(1 + i 0) = + √8 = z1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = …

Observamos que sólo tenemos 2 valores reales + √8 y - √8,

la misma solución que en el caso de la solución real de

x ^ 2 - 8 = 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * …

P.

S. En general, no se usa el teorema de De - Moivre,

si no que se usa la exponencial compleja para polares,

que satisface el teorema de De - Moivre

z = r (cos(a) + i sen(a)) = r e ^ (i * a)

Aquí "a" , como exponencial compleja, se mide exclusivamente en radianes

Saludos.