¿Cuál es el menor número entero positivo que,al multiplicarlo por 14000, da como resultadoun número cubo perfecto?

Descompongamos en factores primos a 14000

14000 / 2

7000 / 2

3500 / 2

1750 / 2 875 / 5 175 / 5 35 / 5 7 / 7 1

queda : 2 ^ 4 * 5 ^ 3 * 7

entonces mira que partiendo el 2 ^ 4 en 2 ^ 3 * 2 queda :

2 ^ 3 * 2 * 5 ^ 3 * 7

observa que todos están en grupo de 3 (2 ^ 3, 5 ^ 3) expecto el 2 y el 7,

asi que para que queden cubos perfectos hace falta completar los cubos del 7 y del 2 que quedaron ahi solitos, para competarlos hay que mutiplicarlos por 7 ^ 2 y 2 ^ 2, (para que formen cada uno un gupo de 3) o sea que hace falta multiplicar por 2 ^ 2 * 7 ^ 2 = 4 * 49 = 196

para que quede : 2 ^ 3 * 2 ^ 3 * 5 ^ 3 * 7 ^ 3 que todos son cubos y se les puede aplicar la raiaz cubica.

En resumen : haría falta multiplicar a 14000 por 196 para tener el cubo perfecto

mira :

14000 * 196 = 27444000 cuya raiz cubica es 140

PD> la otra respuesta que te dieron está mal, porque al multiplicar 14000 por 9 da 126000 y la raiz cubica de 126000 no es exacta, no es 60 como allí se afirma.