Considera el sistema de ecuaciones siguiente (el de la imagen) :a) Di para qué valores del parámetro al sistema es incompatible?

Para la solución de este ejercicio aplicamos el teorema de Rouche Frobenius.

Con él sabremos que elsistema de ecuaciones linealespuede ser :

Compatible y determinado ( = a una única solución)

rango deldeterminante de la matriz A = rango deldeterminante de la matriz ampliada = número de incógnitas (en este caso 3) r(A) = r (A * ) = n

Esta es la opción que necesitamos para resolver la segunda parte del ejercicio.

Compatible e indeterminado (tiene múltiples soluciones)

rangode la matriz A = rangode la matriz ampliada≠número de incógnitas r(A) = r(A * )≠n

Incompatible (no tiene solución)

rangode la matriz A ≠ rango de la matriz ampliada

aplicaremos este punto para hallar el primer apartado del ejercicio porque necesitamos que sea incompatible.

R(A) ≠r(A * )

hallamos el rango de la matriz A (que es la matriz de las 3 incógnitas x, y , z )

x - 2y + 3z = 3 - x + 2y + 2z = 1

7x - 10y + z = a

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=det%20%28A%29%20%3D%20%20%20%20%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26-2%263%5C%5C-1%262%262%5C%5C7%26-10%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20%282%20-%2028%20%2B30%29%20-%20%28%2042%20%2B2%20-20%29%20%3D%20" /> = 4 - 24 = - 20

el determinante de (A) es≠ 0 luego el rango de A = 3

debemos buscar el valor de "a"para que el rango de la matriz ampliada sea diferente al de la matriz A , es decir que no sea rango 3.

Eso lo logramos si conseguimos dar un valor a "a" que haga el valor de la matriz ampliada = 0

probamos combinando las columnas y (eliminando la columna de las y) obtenemos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=det%20%28A%20%5E%7B%2A%7D%20%29%20%3D%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%263%263%5C%5C-1%262%261%5C%5C7%261%26a%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20%282a%20%2B%2021%20-3%29%20-%20%2842%20-%203a%20%2B1%29%20%3D" /> = 2a + 18 + 3a - 43 = 5a - 25 25

⇒ 5a = 25 ⇒ a = - - - - - - - = 5 5

Para el valor a = 5 el sistema de ecuaciones será incompatible.

(el rango de la matriz ampliada será = 0 y el rango no será 3 ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Debemos obtener el valor de "a" para queel rango de la matriz ampliada sea 3 (el valor sea ≠ 0)al igual que la matriz A

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=det%20%28A%2A%29%20%3D%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26-2%263%263%5C%5C-1%262%262%261%5C%5C7%26-10%261%26a%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" /> debo conseguir que tenga rango 3

Para a = 1 la matriz ampliada será≠ 0 y por lo tanto de rango 3

Me quedé aquí.