Condiciones analíticas para que una recta sea paralela, perpendicular y oblicua?

Se entiende que estás en el plano y que tienes que tener 2 rectas, de ecuaciones :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%5Cequiv%20a_1x%2Ba_2y%2Ba_3%3D0%3B%20%20s%5Cequiv%20b_1x%2Bb_2y%2Bb_3%3D0" />.

Para que sean paralelas, sus pendientes tienen que ser iguales, y la pendiente en la recta 1 es (despejando y, el coeficiente de x) :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_1x%2Ba_2y%2Ba_3%3D0%5Cto%20a_2y%3D-a_1x-a_3%5Cto%20y%3D%5Cfrac%7B-a_1%7D%7Ba_2%7Dx-%5Cfrac%7Ba_3%7D%7Ba_2%7D" />

Con lo cual, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D%5Cfrac%7B-a_1%7D%7Ba_2%7D" />.

Análogamente, la pendiente de la recta <img src="https://tex.z-dn.net/?f=s" /> es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D%5Cfrac%7B-b_1%7D%7Bb_2%7D" />.

Luego la condición analítica es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-a_1%7D%7Ba_2%7D%3D%5Cfrac%7B-b_1%7D%7Bb_2%7D%5Cto%20r%5C%3B%5C%7C%20%5C%3As" />

Para que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes ha de ser - 1 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-a_1%7D%7Ba_2%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B-b_1%7D%7Bb_2%7D%3D-1%5Cto%20r%5C%3B%20%5Cperp%20%5C%3As" />

En cualquier otro caso, son oblicuas.

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De otra forma :

si <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_r" /> y <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_s" /> son las pendientes de las dos rectas,

a) r y s son paralelas si <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_r%3Dm_s" />

b) r y s son perpendiculares si [img = 10]

c) r y s son oblicuas si las relaciones entre sus pendientes no son ninguna de las anteriores.