Como se halla el dominio y rango de una función tanto polinomica como racional y radical?

Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas.

Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo.

Éstas son :

Por ejemplo :

f(x) = 3x5 - 8x + 1 ; D(f) = R

g(x) = 2x + 3 ; D(g) = R

h(x) = ½ ; D(h) = R

Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x) = 0 y obtendremos dichas raíces x1, x2, .

, xn, y así tendremos queD(f) = R \ {x1, x2, .

, xn}.

Esto significa que forman eldominio de definiciónde la función todos los números reales salvo x1, x2, .

, xn.

Por ejemplo :

I)Resolvemos la ecuación x2 - 9 = 0 ; y obtenemos x1 = + 3 y x2 = - 3.

Por lo tantoD(f) = R \ { + 3, - 3}

II) Resolvemos la ecuación x2 + 1 = 0 ; y nos encontramos que no tiene solución.

No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.

Por lo tantoD(f) = R.

Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando.

Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada.

Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos :

I) Resolvemos la inecuación x + 1>0 ; = = > x> - 1 ; x + 1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [ - 1, + ).

Por lo tantoD(f) = [ - 1, + ).

II)Resolvemos la inecuación x2 - 25>0 ; y obtenemos (x + 5)·(x - 5)>0 ; R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo.

Por lo tantoD(g) = ( - , - 5] U [ + 5, + )

III)Resolvemos la inecuación x2 - 2x - 8 > 0 ; y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0 ; Observad que ahora la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0.

¿En que se traduce esto?

Pues sencillamente en tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos - 2 y + 4.

R nos queda dividido en tres zonas de nuevo y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio : D(h) = ( - , - 2) U ( + 4, + ) (observad los extremos excluidos).