Como se definen los numeros reales?

N matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales ; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos.

Los irracionales y los trascendentes1

(1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con

denominador no nulo ; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas,

tales como : , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.

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Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias

formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los

propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el

rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo

avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el

momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se

usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una

definición precisa.

Esto llevó a una serie de paradojas y problemas

lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa

para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.

3 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente : clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.