¿Como resuelvo este punto?

Te adjuntaré una imagen que ayuda a comprender el problema.

Resulta que debemos hacer una relación entre el radio de la circunferencia (r) y uno de los lados del pentágono (L).

Si trazamos en cada uno de los vértices del pentágono al centro de la circunferencia y luego unimos dichos vértices, obtendremos 5 triángulos isósceles (2 lados iguales y uno distinto).

Los lados iguales serán los que se trazaron de cada vértice al centro de la circunferencia, mientras que el lado desigual será el lado del pentágono.

Cabe destacar que ese trazo de los vértices al centro de la circunferencia, será el mismo radio.

Si ahora trazamos la altura de uno de los triángulos isósceles, notaremos que divide a dicho triángulo en 2 triángulos rectángulos donde la hipotenusa será el radio (r) y el cateto opuesto será la longitud del pentágono dividido por la mitad (L / 2).

El ángulo central del pentágono (aquel que forman los dos lados iguales del triángulo isósceles) viene dada por la expresión :

α = 360° / N ; N : lados del pentágono

α = 360° / 5

Pero para aplicar la ley del seno, donde viene expresado por la ecuación :

Sen (α / 2) = cateto opuesto / hipotenusa = (L / 2) / r

puesto queα / 2 sería el ángulo del triángulo rectángulo formado entre la altura y el radio.

Despejando L :

L = (2)(r)[Sen(α / 2)]

Sustituyendoα = 360° / 5

L = (2)(r)[Sen (360° / 2(5))]

L = (2)(r)[Sen (180° / 5)]

Como L, es un lado del pentágono y el perímetro es la suma de los lados del pentágono, entonces si :

5 * L = Perímetro

Perímetro = (5)(2)(2)[Sen (180° / 5)]

Perímetro = 20 [Sen (180° / 5)] "Ecuación del perímetro"

Para obtenerla de una forma general de un polígono regular de lados Ninscrito en una circunferencia de radio "r", tenemos :

Perímetro = 2(N)(r) [Sen (180° / N)].