Como resolver los ejercicios de adicio, sustracción, multiplicación y división de números complejos?

Para resolver estas operaciones se amplia el conjunto de los números introduciendo nuevos números llamadosimaginarios.

Número racional : a / b en orden y siendo b diferente de 0 , determinan el número fraccionario a / b, del cual el primer número a es el numerador y el segundo número b es el denominador.

Análogamente, un par de números reales a y b, dados en un cierto orden, definen un número complejo que se representa ( a ; b ), del cual el primer númeroase llama componente real, y el segundob, componente imaginaria.

( - 1 ; 4 )

La componente real es - 1 y la componente imaginaria es 4

Los números imaginarios se representan por la componente imaginaria seguida de la unidad imaginaria i

Adición de números complejos :

Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumandos.

Suma = ( 2 ; 3 ) + ( 4 ; 5 ) = [ ( 2 + 4 ) ; ( 3 + 5 )] = (6 ; 8 )

Representar en forma binómica

( 2 / 3 ; 5 ) = ( 2 / 3 + 5i ) ( 1 / 3 ; - 2 ) = ( 1 / 3 - 2i)

Complejos conjugados :

Son iguales en valor absoluto tanto reales como imaginarios, pero éstos últimos tienen diferente signo.

Suma (3 + 2i ) + (3 - 2i ) = 3 + 3 = 2.

3 Su resultado es elDUPLO REAL

Resta ( 3 + 2i ) - ( 3 - 2i ) = 2i + 2i = 2.

2 = 4i Su resultado esDUPLO IMAGINARIO

Potencia de números complejos

i0 = 1

i4 = 1

i8 = 1

i1 = i

i5 = i

i9 = i

i2 = - 1

i6 = - 1

i10 = - 1

i3 = - i

i7 = - i

i11 = - i

Multiplicación

Producto de una unidad imaginaria

( 2 + 4i ) .

( 1 - 2i ) = Se aplica propiedad distributiva

( 2 .

1 ) + ( 2 .

- 2i ) + ( 4i .

1 ) + ( 4i .

- 2i ) = 24i + 4i + 4i2 =

2 + 4 .

- 1 =

2 - 4 = - 3

Complejos conjugados :

El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos componentes ( 3 + 2i ) .

( 3 - 2i ) = ( 3 )2 - ( 2i )2 =

9 - 4i2 = 9 - 4 .

- 1 =

9 + 4 = 13

Aplicando propiedad distributiva

( 3 + 2i ) .

( 3 - 2i ) =

( 3 .

3 ) + ( 3 .

- 2i ) + ( 2i .

3 ) + ( 2i .

- 2i ) =

9 - 6i + 6i - - 4i2 =

9 - 4 .

- 1 =

9 + 4 = 13

Ejemplo de no conjugado

( 3 + 2i ) .

( 4 - 3i ) =

( 3 .

4) + ( 3.

- 3i ) + ( 2i .

4 ) + ( 2 i.

- 3i ) =

12 - 9i + 8i - 6i =

12 - 9i + 8i - 6 .

( - 1) =

12 - i + 6 =

( 18 - i )

División de números complejos

5 - 2i =

4 + 3i

( 5 - 2i ) .

( 4 - 3i ) =

( 4 + 3i) .

( 4 - 3i )

20 - 8i - 15i + 6i2 =

42 + 32

20 - 8i - 15i - 6 =

16 + 9

14 - 23i =

25

( 14 / 25 - 23 / 25i )

Raíces de índice par de números negativos

√ - 25no tenía solución en el conjunto de los números reales, pero al considerar los números complejos este problema queda resuelto.

√ - 25 = + 5 y - 5 + 5i .

+ 5i = ( 5i )2 = 25i2 = - 25 - 5i .

- 5i = ( - 5i )2 = 25i2 = - 25

Representación geométrica o gráfica de los números Complejos

A cada complejo le corresponde el punto del plano cuya abscisa es la componente real y su ordenada la componente imaginaria.

1) Al número complejo ( - 3 ; 2 ) = - 3 + 2i le corresponde el punto A de abscisa - 3 y ordenada 2

2) A todo número imaginario que tiene componente real 0, tiene el punto que le corresponde sobre el eje de las ordenadas :

a) ( 0 ; 3) = 3i le corresponde el punto B

b) ( 0 ; - 2 ) = - 2i le corresponde el punto C

c) (0 ; 1) = 1i le corresponde el punto U

3) Todos los números reales, que son complejos que tienen componente imaginaria 0, están representados por el eje de las x

a) ( 5 ; 0 ) = 5 le corresponde el punto D.

Forma polar trigonométrica

Si se considera el vector que tiene por origen O de coordenadas y por estremo el punto P, es decir , semirrecta OP, el módulo de este vector se llama módulo del complejo ( a ; b ).

Lo denominamos módulo δ de ( a ; b )

El ángulo que forma dicho vector con el semieje positivo de las x en el sentido contrario a las agujas del reloj, en este caso ω, se llama argumento del número complejo ( a ; b )

Se tiene que :

cos ω = a⇒ a = δ.

Cos ω

δ

sen ω = a⇒ b = δ.

Sen ω

δ

bi = δ.

Sen ω i

Sumando miembro a miembro [ 1 ] y [ 2 ]

a + bi = δ.

Cos ω + δ.

Sen ω

Sacando factor común :

a + bi = δ.

( cos ω + i sen ω )

Ejemplo :

a = √3y b = 1 + √4 = + 2

cos ω = √3 2

sen ω = 1 2

⇒ ω = 30º

La forma trigonométrica del número complejo dado :

√3 + i = 2 ( cos 30º + i sen 30º ).