¿Como puedo sacar el perímetro de una parábola?

Supongamos que la ecuación de la parábola es : y = ax² [ f(x) = ax² ]

Con a>0

Faltarían los limites de integración :

1) Si me dieran la profundidad : h>0

h = ax² Despejando queda x = ±√(h / a)

α = - √(h / a)

β = + √(h / a)

2) Si me dieran el ancho del canal : d>0 ( Una cuerda || al eje ox )

α = - d / 2

β = + d / 2

En los dos casos : β = - α

La longitud buscada es igual a :

β

ʃ √[1 + (f '(x))²] dx =

α

β

ʃ √[1 + ((ax²)' )²] dx =

α

β

ʃ √[1 + (2ax)²] dx =

α

β

ʃ √[1 + 4a²x²] dx =

α

Factor común : 4a²

β

ʃ √[4a²(1 / (4a²) + x²)] dx =

α

Fuera de la raiz la constante 4a²

.

Β

2aʃ √(1 / (4a²) + x²) dx =

.

Α

En donde la integral impropia da :

2a ʃ √(1 / (4a²) + x²) dx =

2a * [x / 2√(1 / (4a²) + x²) + [1 / (4a²)] / 2 * argsh(x / (1 / 2a))] + C =

2a * x / 2√(1 / (4a²) + x²) + 2a * [[1 / (4a²)] / 2 * argsh(2ax)] + C =

ax√(1 / (4a²) + x²) + 1 / (4a) * argsh(2ax) + C

.

Β

2aʃ √(1 / (4a²) + x²) dx =

.

Α

aβ√(1 / (4a²) + β²) + 1 / (4a) * argsh(2aβ) - { aα√(1 / (4a²) + α²) + 1 / (4a) * argsh(2aα) } =

aβ√(1 / (4a²) + β²) + 1 / (4a) * argsh(2aβ) - aα√(1 / (4a²) + α²) - 1 / (4a) * argsh(2aα)

Como : β = - α - aα√(1 / (4a²) + ( - α)²) + 1 / (4a) * argsh( - 2aα) - aα√(1 / (4a²) + α²) - 1 / (4a) * argsh(2aα) = - 2aα√(1 / (4a²) + α²) - 1 / (2a) * argsh(2aα)

Conclusión :

β

ʃ √[1 + (2ax)²] dx = - 2aα√(1 / (4a²) + α²) - 1 / (2a) * argsh(2aα)

α.