Como puedo saber cuantas soluciones tiene una ecuación ?

Toda ecuación SIEMPRE tiene tantas soluciones como el grado que tenga.

En tu caso, de cuarto grado, tiene necesariamente cuatro soluciones.

A veces son soluciones dobles, triples, etc.

Si hay soluciones complejas, siempre son pares de soluciones complejas conjugadas.

X ^ 4 + px ^ 2 + q = 0

Cambio de variable : u = x ^ 2 ; reescribo :

u ^ 2 + pu + q = 0 ; aplico Baskara :

[ - p + - √(p ^ 2 - 4q)] / 2

u = [ - p + √(p ^ 2 - 4q)] / 2 ; o u = [ - p - √(p ^ 2 - 4q)] / 2

Hasta aquí observamos que hay APARENTEMENTE dos soluciones, PERO cuando devolvemos la variable observamos :

x ^ 2 = [ - p + √(p ^ 2 - 4q)] / 2 ; despejamos x :

x = + √{[ - p + √(p ^ 2 - 4q)] / 2} ; y también : x = - √{[ - p + √(p ^ 2 - 4q)] / 2}

x ^ 2 = [ - p - √(p ^ 2 - 4q)] / 2 ; despejamos x :

x = + √{[ - p - √(p ^ 2 - 4q)] / 2} ; y también : x = - √{[ - p - √(p ^ 2 - 4q)] / 2}

Con lo que obtenemos las cuatro soluciones posibles.

Ahora, si q = 0 : Reemplazo en las cuatro soluciones :

x = + √{[ - p + √(p ^ 2 - 0)] / 2} ; x = 0

x = - √{[ - p + √(p ^ 2 - 0)] / 2} ; x = 0

x = + √{[ - p - √(p ^ 2 - 0)] / 2} ; x = √( - 2p) / 2) ; x = i√p

x = - √{[ - p - √(p ^ 2 - 0)] / 2} ; x = - √( - 2p) / 2) ; x = - i√p

Y si qp ^ 2, el radicando será negativo y por lo tanto el resultado imaginario (será una raíz compleja).

Otra forma de razonar tu ecuación cuártica con q = 0 :

x ^ 4 + px ^ 2 = 0 ; factorizo :

x ^ 2(x ^ 2 + p) ; x puede valer 0 o el paréntesis puede valer 0 :

x ^ 2 = 0 ; x = + - √0 ; con lo que ya obtengo dos soluciones (aunque ambas tienen el mismo valor) :

x ^ 2 + p = 0 ; x ^ 2 = - p ; x = + - √ - p ;

x = + i√p ; o : x = - i√p ; con lo que obtengo dos complejos conjugados (la parte real es igual a cero).

En resumen : cuatro resultados posibles : uno doble (x = 0) y dos complejos conjugados.