Como obtener los catetos de un triangulo notable de 18?

Buenas noches,

Para resolver el problema planteado, partimos de un triángulo rectánguloque definiremos como ABC, tal como te adjunto en la figura al final del desarrollo, en función a la cual se basa la resolución del problema, con los ángulos definidos correspondientes a 18.

5 ° (equivalente a 37° / 2) y 71.

5° (equivalente a 143° / 2), como comúnmente suelen expresarse igualmente, donde se desconocen la longitud de sus catetos.

Una de las metodologías de resolución se fundamenta en emplear otro de los triángulos notables, uno de 37° y 53°, que denotaremos BCD, para el cual se conoce la relación entre la longitud de sus catetos y en función a ellos la hipotenusa.

De este modo se emplea el triángulo BCD como herramienta, con lo cual se fija la relación conocida entre sus catetos una vez identificados sus ángulos, donde el cateto adyacente al ángulo de 53° corresponde a una longitud de 3 * a, siendo (a)la magnitud mediante la cual se escalan, sea para reducir o ampliar las dimensiones de cada lado del triángulo, y su cateto opuesto es de 4 * a, consideraciones inversas si se toma el de 37°.

Con ello se conoce la magnitud de su hipotenusa, que representará un lado conocido del triángulo BCD, se conocen todos los ángulos internos, ya que del ángulo de 71.

5° se forma el de 53°, restando entonces 18.

5° en el vértice B, se mantiene el mismo de 18.

5° en el vértice A y finalmente para complementar la sumatoria de 180° internos, uno de 143°.

Ahora bien, basta con aplicar el teorema del seno para de ese modo definir la diferencia de longitud entre el lado AD que sumado a la longitud de 4 * a, se conocerá la dimensión del cateto final del triángulo notable inicial de estudio, ya que al fijar la dimensión de 3 * a, dichos triangulos comparten el mismo cateto, por lo que hemos encontrado el valor de uno de los catetos incógnita.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bsen%2818.5%29%7D%7B5%2Aa%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bsen%2818.5%29%7D%7BAD%7D%20" />

Siendo finalmente el valor del segmento AD = 5 * a.

Sumando el segmento AD + DC, se establece el valor del cateto restante, como 9 * a.

De modo que los catetos de un triángulo notable de 18.

5° y 71.

5°, tienen un valor de 9 * a y 3 * a, sin embargo se pueden simplificar dichas relaciones dividiendo por 3, de modo que finalmente equivalen a 3 * a y a, lo cual satisface que su hipotenusa debe tener un valor de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B10%7D%2Aa" />.

Espero haberte ayudado.