¿Como Hallar r(t) para las condiciones siguientes?

Para resolver este problema debemos utilizar inicialmente la integración, debido a que este es el operador inverso de la integral.

Por tanto :

→ r(n) = ∫r'(n) = ∫(2ni + eⁿj + e⁻ⁿk) dn

Integrando tenemos :

→ r(n) = n²i + eⁿj - e⁻ⁿk + C (1)

Para obtener el valor de la C, usamos la segunda condición.

→ r(0) = 0²i + e⁰j - e⁻⁰k + C

→ i + 3j - 5k = j - k + C

→ C = i + 2j - 4 k

Sustituimos el valor de C en (1) tenemos :

r(n) = n²i + eⁿj - e⁻ⁿk + i + 2j - 4 k

Agrupamos términos y tenemos :

r(n) = i(n² + 1) + j(eⁿ + 2) + k( - e⁻ⁿ - 4)

Finalmente en función de t será :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20r%28t%29%20%3D%20%28t%5E%7B2%7D%20%2B1%29i%20%2B%20%28e%5E%7Bt%7D%20%2B2%29j%20%2B%20%28-e%5E%7B-t%7D%20-4%29%20k%20" />

Nota : los cálculos se hicieron con la variable "n" solamente por comodidad, se puede hacer directamente con la variable t.