Como hallar el producto de (5x + 3y) ^ 2 =?

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal.

Por ejemplo : –2a2b y 5a2b son semejantes.

Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal.

Por ejemplo :

–2a2b + 5a2b = 3a2b

10x2z3 – 22x2z3 = – 12x2z3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar :

La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.

Eliminación de Paréntesis

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas :

(1) Si aparece un signo “ + ” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

(2) Si aparece un signo “ - ” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

Ejemplo :

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos :

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes : - 2ab + 2a - ab

Producto de expresiones algebraicas

Producto de monomios

Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad : “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.

Ejemplo : 2x2y3 z · 4x4y2 = 8x6y5z

Producto de monomio por polinomio

Se aplica la propiedad distributiva, esto es : “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo :

2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab .

3a - 2ab .

Ab2 + 2ab .

4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2

Producto de binomio por binomio

Se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo :

(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a .

4a2 + 2a .

5ab3 – 3b2c .

4a2 – 3b2c .

5ab3 = 8a3 + 10 a2b3 – 12 a2b2c – 15 ab5c

Producto de polinomio por polinomio

Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.

(2x – 3y + 4z2).

(5x + 2xy + 4xz2) = 2x .

5x + 2x .

2xy + 2x .

4xz2 – 3y .

5x – 3y .

2xy – 3y .

4xz2 + 4z2 .

5x + 4z2 .

2xy + 4z2 .

4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4

Productos notables

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente.

Suma por su diferencia :

(a + b) (a – b) = a2 - b2

Cuadrado de binomio :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Multiplicación de binomios con término común :

a2b + 5a2 - 8a2 - 3a2b

Cuadrado de trinomio :

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Cubo de binomio :

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Puedes hallar un mapa conceptual acerca de los productos notables en :

Productos notables

Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los siguientes sitios : ( tema incompleto) (1 / 2a + 3)

Desarrollo productos notables

Factorización

Consiste en expresar adiciones y / o sustracciones en términos de multiplicaciones.

Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes :

Factor común

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1.

Ejemplo :

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3

Aquí el factor común es : 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma :

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización.

Diferencia de cuadrados

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.

A2 – b2 = (a + b) (a – b)

Ejemplo : 25a2 – 16b4

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :

Por lo tanto : (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a — 4b2)

Factorización de trinomio cuadrático perfecto

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es :

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Ejemplo : 16x2 – 24xy + 9y2

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos : 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio :

(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada.

Factorización de trinomio cuadrático no perfecto

En este caso hay dos subcasos :

Caso en que el coeficiente cuadrático es 1

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común” :

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo : x2 + px + q

Ejemplo : x2 – 10x + 24.