Como es el teorema de tales?

El

primer teorema de Tales recoge uno

de los resultados más básicos de la

geometría, a saber, que :

Según parece, Tales descubrió el

teorema mientras investigaba la

condición de paralelismo entre dos

rectas.

De hecho, el primer teorema

de Tales puede enunciarse como

que la igualdad de los cocientes de

los lados de dos triángulos no es

condición suficiente de paralelismo.

Sin embargo, la principal aplicación

del teorema, y la razón de su fama,

se deriva del establecimiento de la

condición de semejanza de

triángulos, a raíz de la cual se

obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Del establecimiento de la existencia

de una relación de semejanza entre

ambos triángulos se deduce la

necesaria proporcionalidad entre

sus lados.

Ello significa que la razón

entre la longitud de dos de ellos en

un triángulo se mantiene constante

en el otro.

Por ejemplo, en la figura se

observan dos triángulos que, en

virtud del teorema de Tales, son

semejantes.

Entonces, del mismo se

deduce a modo de corolario que el

cociente entre los lados A y B del

triángulo pequeño es el mismo que

el cociente entre los lados D y C en

el triángulo grande.

Esto es, que

como por el teorema de Tales

ambos triángulos son semejantes,

se cumple que :

Este corolario es la base de la

geometría descriptiva.

Su utilidad es

evidente ; según Heródoto , el propio

Tales empleó el corolario de su

teorema para medir la altura de la

pirámide de Keops en Egipto .

En

cualquier caso, el teorema

demuestra la semejanza entre dos

triángulos, no la constancia del

cociente.

Del primer teorema de Tales se

deduce además lo siguiente

(realmente es otra variante de dicho

teorema, y, a su vez, consecuencia

del mismo) : Si las rectas A, B, C son

paralelas y cortan a otras dos rectas R

y S, entonces los segmentos que

determinan en ellas son

proporcionales.

Segundo teorema

fig 2.

1 Ilustración del enunciado del

segundo teorema de Tales de

Mileto.

El segundo teorema de Tales de

Mileto es un teorema de geometría

particularmente enfocado a los

triángulos rectángulos, las

circunferencias y los ángulos

inscritos, consiste en el siguiente

enunciado :

Este teorema (véase fig 2.

1 y 2.

2 ),

es un caso particular de una

propiedad de los puntos cocíclicos y

de la aplicación de los ángulos

inscritos dentro de una

circunferencia.

Demostración

fig 2.

2 Siempre que AC sea un

diámetro , el ángulo B será

constante y recto .

Fig 2.

3 Los triángulos AOB y BOC

son isósceles.

En la circunferencia de centro O y

radio r (véase fig 2.

3 ), los

segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de

la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y

BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo

ABC es :

Dividiendo ambos miembros de la

ecuación anterior por dos, se

obtiene :

Con la expresión anterior el segundo

teorema queda demostrado.

Corolarios

Ya que aplicando el teorema

anterior, se sabe que para cualquier

posición que adopte el vértice B vale

la igualdad, OA = OB = OC = r, donde

OB es la mediana de la hipotenusa,

(véase fig 2.

3 ). El corolario 2 también surge de

aplicar el teorema anterior, para una

comprensión intuitiva basta

observar la fig 2.

2 . Aplicación del

segundo teorema

Construcción de tangentes ( líneas

rojas) a una circunferencia k desde

un punto P, utilizando el «segundo

teorema de Tales».

El “segundo teorema” (de Tales de

Mileto) puede ser aplicado para

trazar las tangentes a una

circunferencia k dada, que además

pasen por un punto P conocido y

externo a la misma ( véase figura ).

Se supondrá que una tangente

cualquiera t ( por ahora desconocida)

toca a la circunferencia k en un

punto T ( también desconocido por

ahora ).

Se sabe por simetría que

cualquier radio r de la circunferencia

k es perpendicular a la tangente del

punto T que dicho radio define en la

misma, por lo que concluimos que

ángulo OTP es necesariamente

recto.

Lo anterior implica que el triángulo

OTP es rectángulo.

Recordando el

«corolario 2 del teorema segundo de

Tales» podemos deducir que

entonces el triángulo OTP es

inscribible en una circunferencia de

radio ½ de la hipotenusa OP del

mismo.

Entonces marcando el punto H como

punto medio de la hipotenusa OP y

haciendo centro en el mismo,

podemos dibujar una segunda

circunferencia auxiliar (gris en la

figura ) que será la que circunscribe

al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada

se intersecará con la circunferencia

k en dos puntos T y T' , estos son

justamente los puntos de tangencia

de las dos rectas que son

simultáneamente tangentes a k y

además pasan por el punto P , ahora

ya conocidos los puntos T y T' solo

basta trazar las rectas TP y T'P

(rojas en la figura) para tener

resuelto el problema.