Como es el procedimiento?

F(x) = 8 / 9 + x²

Con el criterio de la segundad derivada hallamos máximos y minimos, primero para hallar los puntos críticos calculamos la primera derivada.

F'(x) = - 16x / (9 + x²)² - 16x / (9 + x²)² = 0

x = 0

Evaluando en la segunda derivada : en x = 0

f''(x) = 48(x² - 3) / (9 + x²)³

f''(0) = 48(0² - 3) / (9 + 0²)³

f''(0) = - 16 / 81 < 0

por lo tanto en x = 0 existe un máximo absoluto ya que es el único punto critico

Hallando las coordenas del punto crítico :

f(x) = 8 / 9 + x²

f(0) = 8 / 9 + x²

f(0) = 8 / 9

Luego analizando la funcion vemos que nunca toma un valor negativo y tampoco se hace cero.

Analizando esto tenemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%208%2F%20%289%2B%20x%5E%7B2%7D%20%29" />

Como resultado da en 0, es decir la funcion cuando x tiende a valores muy grandes esta tiende a 0 pero no es cero

por lo tanto el rango sería ]0, 8 / 9]

(a + 1, b + 1) rango

a = - 1

b = - 1 / 9

a / b = 9.