Como descomponer en 3 factores?

CASO X

SUMAO DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

156.

Aplicando el Teorema del Residuo(102), probamos que :

I.

An – bn es divisible por a - b siendo n par o impar.

II. an + bn es divisible por a + b siendo n impar.

III. an – bn es divisible por a + b cuando n es par.

IV. an + bn nunca es divisible por a - b.

Y vimos el modo de hallar el cociente cuando la división era exacta.

157. FACTORAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES.

Ejemplos

(1) .

Factorar m5 + n5

Dividiendo entre m + n (96, 4º.

) los signos del cociente son alternativamente + y - : = m4 - m 3n + m2n2 – mn3 + n4

Luego m5 + n5 = (m + n)( m4 - m 3n + m2n2 – mn3 + n4).

R

(2) .

Factorar x5 + 32.

Esta expresión puede escribirse x 5 + 25.

Dividiendo por x + 2, tenemos : = x4 - x3 (2) + x2 (2)2 - x(2)3 + 24

O sea = x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16

Luego x 5 + 25 = (x + 2)(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16).

R. (3) Factorar a5 – b5.

Dividiendo por a - b (96, 4º.

) los signos del cociente son todos + : = a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4

Luego a5 – b5 = (a – b)( a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 ).

R. (4) Factorar x7 - 1.

Esta expresión equivale a x7 - 17.

Dividiendo entre x - 1, se tiene : = x6 + x5 (1) + x4 (12) + x3 (13) + x2 (14) + x (15) + 16

O sea = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Luego x7 - 1 = (x - 1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).

R. NOTA

Expresiones que corresponden al caso anterior xn + yn o xn - yn en que n es impar y múltiplo de 3, como, x3 – y3 , x9 + y9, x 9 - y9 , x15 + y15, x15 - y15, pueden descomponerse por el método anteriormente expuesto o como suma o diferencia de cubos.

Generalmente es más expedito esto último.

Las expresiones de la forma xn - yn en que n es par, como x4 – y4, x6 – y6, x8 – y8 son divisibles por x + y o x - y, y pueden descomponerse por el metodo anterior, pero mucho más fácil es factorarlas como diferencia de cuadrados.