Características que debe de cumplir una parábola?

Para estudiar las características de la parábola, es conveniente ubicarla en un sistema de coordenadas cartesianas.

La figura siguiente tiene 2 elementos distinguidos que son : el eje y el vértice, que coincide en este caso con el origen de coordenadas.

Pero los elementos que definen a esta parábola, es decir, los elementos de los cuales depende la forma específica de la parábola son : el foco y la recta directriz.

La propiedad que debe cumplir cualquier punto de la parábola es la siguiente :

Distancia de al foco = Distancia de a la recta directriz.

Por ejemplo, si la ecuación de la recta directriz de una parábola es y el foco tiene coordenadas (0, 2), cualquier punto del plano cartesiano que pertenezca a la parábola, debe cumplir lo siguiente :

Distancia de a (0, 2) = Distancia de a la recta

Si se escribe esta igualdad en términos algebraicos, se obtiene :

Elevando al cuadrado ambos miembros :

Esta última expresión algebraica es la ecuación canónica de la parábola con foco en el punto (0, 2) y recta directriz .

Es decir, si es un punto del plano tal que : entonces es un punto de esa parábola, mientras que si , no lo es.