Calcular las dimensiones del triangulo isósceles de mayor área que se pueda inscribir en un circulo de radio 16?
Calcular las dimensiones del triangulo isósceles de mayor área que se pueda inscribir en un circulo de radio 16.
En resumen
Véase la figura adjunta. S = 1 / 2 B H H = R + R sen(a) B = 2 R cos(a) Por lo tanto S = 1 / 2 [R + R sen(a)] 2 R cos(a) ; o bien S = R² [1 + sen(a)] cos(a) Se observa que S es función de a (ángulo) La condición de máximo exige que la derivada de S respecto de a sea nula.
Mejor respuesta
Véase la figura adjunta.
S = 1 / 2 B H
H = R + R sen(a)
B = 2 R cos(a)
Por lo tanto S = 1 / 2 [R + R sen(a)] 2 R cos(a) ;
o bien S = R² [1 + sen(a)] cos(a)
Se observa que S es función de a (ángulo)
La condición de máximo exige que la derivada de S respecto de a sea nula.
S' = R² [cos(a) cos(a) + (1 + sen(a)) ( - sen(a)]
S' = R² [cos²(a) - sen(a) - sen²(a)] ; expresamos todo en función de sen(a)
S' = R² [1 - sen²(a) - sen(a) - sen²(a)]
S' = R² [1 - sen(a) - 2 sen²(a)] = 0.
O bien :
2 sen²(a) + sen(a) - 1 = 0 ; es una ecuación de segundo grado en sen(a)
Sus raíces son : sen(a) = 1 / 2 ; sen(a) = - 1.
La última se descarta
por lo tanto a = 30°
B = 2 .
16 . cos(30°) = 27, 7
H = 16 + 16 sen(30)° = 24
S = 1 / 2 .
27, 7 .
24 = 332, 4
Calculemos uno de los lados iguales :
L = √[(27, 7 / 2)² + 24²] = 27, 7
Por lo tanto el triángulo de mayor superficie es un triángulo rectángulo.
Saludos Herminio.
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