Calcular el área limitada por las curva y = x2 ; x = y2?

Hola : ) ,

El área limitada entre dos curvas generalmente se hace mediante la integral entre los límites donde se intersectan.

Algo importante y útil cuando uno empieza a hacer estos ejercicios es ver la gráfica de las funciones, como verás son 2 parábolas una centrada en el eje x y la otra en el eje y, y realizas la gráfica observarás tienen una área en común, te darás cuenta que los límites es de 0 a 1, en forma algebraica es así :

y = x²

x = y² = > |√x| = y

Igualando "y" :

x² = |√x| / ²

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B4%7D%20-%20x%20%3D%200%20%5C%5C%0Ax%5E%7B3%7D%28x-1%29%20%3D%200%20%5C%5C%0Ax_%7B1%7D%20%3D%201%20%5C%5C%0Ax_%7B2%2C3%2C4%7D%20%3D%200%20%5C%5C" />

Generalmente para el cálculo de áreas entre funciones :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%20%3D%20%20%5Cint%5Climits%5Ea_b%20%7B%28g%28x%29%20-%20f%28x%29%29%7D%20%5C%2C%20dx%20" />

g(x) es la función que va por encima de f(x) , si observas la gráfica , x = y² es esa función, hay que dejar todo en función de x por lo tanto , y(x) = √x ( se descarta - √x ya que los límites de integración están en un dominio positivo x>0),

Luego el área es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%20%3D%20%20%5Cint%5Climits%5E0_1%20%7B%28%20%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20x%5E%7B2%7D%29%7D%20%5C%2C%20dx%20%5C%5C%20%5C%5C%0AA%20%3D%20%20%282%5Cfrac%7Bx%5E%7B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20%7D%7B3%7D%20%20-%20%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%7C_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7BA%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%20" />

Saludos : ).