Utilzaré el método de completación de cuadrados para buscar una forma de la expresión del tipo y = A(x - h) ^ 2 + k, en la k el vértice es (h, k).
A) y = 3x ^ 2 - x + 1
Paso 1 : Extrae facor común 3 a los dos primeros términos = > 3 (x ^ 2 - 1 / 3 x) + 1
Paso 2 : busca el la mitad del coeficiente de x, para escribir el cuadrado perfecto, y resta el cuadrado del segundo término para mantener la igualdad = > (1 / 3) / 2 = 1 / 6 = > (1 / 6) ^ 2 = 1 / 36 = > 3 [ (x - 1 / 6) ^ 2 - 1 / 36] + 1
Paso 3 : extrae el término - 1 / 36 de los corchetes = > 3 (x - 1 / 6) ^ 2 - 3 * 1 / 36 + 1 = 3(x - 1 / 6) ^ 2 - 3 / 36 + 1 = 3(x - 1 / 6) ^ 2 - 1 / 12 + 1 = = 3(x - 1 / 6) ^ 2 + 11 / 12
De donde, por comparación con A(x - h) ^ 2 + k, el vértice es (1 / 6, 11 / 12)
Respuesta : (1 / 6 , 11 / 12)
b) y = - 10x2 - 5x + 7 ( - 10x2 = Es menos 10 equis al cuadrado)
Paso 1 : extrae factor común - 10 a los términos que contienen x : = > - 10 (x ^ 2 + 1 / 2 x) + 7
Paso 2 : busca la mitad del coeficiente que acompaña a x : (1 / 2) / 2 = 1 / 4, y escribe el cuadrado perfecto restando (1 / 4) ^ 2 = 1 / 16 = > - 10 [(x + 1 / 4) ^ 2 - 1 / 16] + 7
Paso 3 : saca el término - 1 / 16 de los corchetes = > - 10 (x + 1 / 4) ^ 2 + 10 / 16 + 7 = - 10(x + 1 / 4) ^ 2 + 61 / 8
compara con (x - h) ^ 2 + k = > (h, k) = ( - 1 / 4, 61 / 8)
Respuesta : vértice = ( - 1 / 4, 61 / 8)
c) y = 6x2 - 2x + 9 (6x2 = Es 6 equis al cuadrado)
siguiendo los mismos pasos descritos en los dos problemas de arriba :
y = 6(x ^ 2 - 1 / 3x) + 9
y = 6 [ (x - 1 / 6) ^ 2 - 1 / 36 ] + 9
y = 6 (x - 1 / 6) ^ 2 - 1 / 6 + 9
y = 6 (x - 1 / 6) ^ 2 + 53 / 6 = > vértice = (1 / 6, 53 / 6)
Respuesta : (1 / 6, 53 / 6)
d) y = 8x2 + 8x - 11 (8x2 = Es 8 equis al cuadrado)
Siguiendo los mismos pasos de los ejercicios de arriba :
y = 8x ^ 2 + 8x - 11 = > y = 8(x ^ 2 + 1) - 11 = > y = 8 [ (x + 1 / 2) ^ 2 - 1 / 4] - 11 = > y = 8 (x + 1 / 2) ^ 2 - 2 - 11 = > y = 8(x + 1 / 2) ^ 2 - 13 = > vértice = ( - 1 / 2, - 13).