Buenos dias pido ayuda con el siguiente ejercicio ?

De la gráfica que adjunté :

a + b = 90, a y b son ángulos auxiliares para la resolución del problema.

La linea trazada (verde) es perpendicular a la base del triangulo.

Es decir es paralela a los lados (l - 4) + 4 y (L - 3) + 3.

L se refiere a la longitud del cuadrado mas grande.

Como se puede observar las lineas en rojo son paralelas entre si puesto que son los lados de cuadrados que se han trazado coincidiendo uno de sus lados a la base, estas lineas son paralelas a la base del triangulo.

Los ángulos a' y b' también son auxiliares, notemos que a' = a y b' = b, esto puesto como el angulo a y el angulo bson ángulos alternos internos a los ángulos x e y, que son idénticos a los ángulos a' y b' respectivamente.

Bien, ahora :

Se puede observar que :

Tan a' = Tan a = 3 / (L - 3)

Tan b' = Tan b = 4 / (L - 4)

Sabemos que a + b = a' + b' = 90

Es decir b = b' = 90 - a

y que :

Tan x = Sen x / cos x

Sen b = Sen (90 - a) = Sen (90) Cos a - Sen b Cos (90) = Cos a

Cos b = Cos(90 - a) = Cos b Cos(90) + Sen (90)Sen a = Sen a

Entonces :

1) Tan a = 3 / (L - 3)

2) Tan b = 4 / (L - 4) = Sen b / Cos b = Cos a / Sen a

Luego :

De 2) :

3) Sen a / Cos a = (L - 4) / 4 = Tan a

Luego igualando :

1) = 3) :

(L - 4) / 4 = 3 / (L - 3)

Solucionando para L :

(L - 4)(L - 3) = 12

L² - 7L + 12 = 12

L(L - 7) = 0

L - 7 = 0

L = 7.