Ayuda urgente por fa! Necesito descomponer en suma de fracciones parciales las siguientes fracciones y no tengo idea de como resolverlas. Necesito la operación y no solo el resultado, se los agradecería mucho : 5x - 13 \ 6 x ^ {2} + 13x - 5 5x + 1 \ 12 + x - x ^ {2} - 11(x + 3) \ 14 - 3x - 2 x ^ {2} 3x - 5 \ 9 x ^ {2} - 12x + 4 4 x ^ {2} + 7x - 12 \ x(x + 2)(x - 3).
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 4 votos · mejor respuesta de Florian20007
Hola : ) ,
Para descomponer en fracciones parciales , lo fundamental es factorizar el denominador y observar en cuantos términos se puede descomponer , luego de eso es hallar los coeficientes ,
1) Factorizando el denominador :
6x² + 13x - 5 = 0
[ Con la fórmula de ecuación de 2° grado ]
6 ( x - 1 / 3 ) ( x + 15 / 6)
(x - 1 / 3)( 6x + 15)
Se observa que se puede factorizar en 2 productos , por lo tanto , la descomposición de fracciones parciales serán 2 términos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B5x%20-%2013%7D%7B%28x%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%286x%2B15%29%20%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7BA%7D%7B%28x%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BB%7D%7B%286x%2B15%29%7D%20%20" />
Para hallar los coeficientes A y B , igualamos términos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B5x%20-%2013%7D%7B%28x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%286x%2B15%29%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7B%28x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BB%7D%7B%286x%2B15%29%7D%20%2F%20%2A%20%28x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%286x%2B15%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A5x%20-%2013%20%3D%20A%2A%286x%20%2B%2015%29%20%2B%20B%28x%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A5x%20-%2013%20%3D%206x%2AA%20%2B%2015A%20%2B%20Bx%20-%20%20%5Cfrac%7BB%7D%7B3%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0AAgrupando%3A%20%5C%5C%0A5x%20-%2013%20%3D%20x%286A%20%2B%20B%29%20%2B%20%2815A%20-%20%20%5Cfrac%7BB%7D%7B3%7D%29" />
Ahora igualamos coeficientes , el lado izquierdo , el término que acompaña a x es un 5 , por lo tanto :
6A + B = 5
a su vez , el término independiente es - 13 , entonces imponemos que
15A - B / 3 = - 13
Solo queda resolver el sistema , por reducción :
6A + B = 5
15A - B / 3 = - 13 / * 3
6A + B = 5
45A - B = - 39 +
___________
51A = - 34
A = - 34 / 51
Luego ,
6 * - 34
____ + B = 5 51
B = 5 + 4
B = 9
Finalmente , la descomposición queda :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B5x%20-%2013%7D%7B%28x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%286x%2B15%29%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-34%7D%7B51%28x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B9%7D%7B%286x%2B15%29%7D" />
Para los otros ejercicios el proceso es similar :
2)
Factorizando el denominador :
5x + 1 \ 12 + x - x ^ {2}
12 + x - x² = (4 - x)(x + 3)
Luego tendría que quedar así :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B5x%20%2B%201%20%7D%7B%284-x%29%28x%2B3%29%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7BA%7D%7B4-x%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BB%7D%7Bx%2B3%7D%20%20%2F%20%2A%20Multiplicamos%20%5C%20por%20%5C%20%284-x%29%28x%2B3%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A5x%20%2B%201%20%3D%20A%28x%2B3%29%20%2B%20B%284-x%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A5x%20%2B%201%20%3D%20x%28A-B%29%20%2B%203A%20%2B%204B%20%20%20" />
y resolvemos el sistema :
A - B = 5 = > * 4 = > 4A - 4B = 20
3A + 4B = 1 3A + 4B = 1 + _________ 7A = 21 A = 3
entonces,
3 - B = 5
B = - 2
La suma en fracciones parciales es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B5x%20%2B%201%20%7D%7B%284-x%29%28x%2B3%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4-x%7D%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%2B3%7D" />
La 3 , es similar.
La 4 tiene una factorización singular ,
9x² - 12x + 4 = > (3x - 2)²
La fracción nuevamente se descompone en 2 términos , pero uno de ellos tendrá el mayor grado y el otro se disminuirá en 1 , en otras palabras , si se tiene un denominador (ax - b) ^ n , se descomponerá en n términos con denominadores (ax - b) ^ n , (ax - b) ^ (n - 1), (ax - b) ^ (n - 2).
, (ax - b) ^ 1.
Entonces :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3x-5%7D%7B%283x-2%29%5E2%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7BA%7D%7B%283x-2%29%5E%7B2%7D%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BB%7D%7B%283x-2%29%7D%20%2F%20%2A%20%283x-2%29%5E%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A3x%20-%205%20%3D%20A%20%2B%20B%283x-2%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A3x%20-%205%20%3D%203x%2AB%20%2B%20%28A%20-%202B%29%20%20%20" />
Para que se cumpla la igualdad :
B = 1 ,
A - 2B = - 5
Sabiendo que B = 1 :
A - 2 = - 5
A = - 3
Así :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3x-5%7D%7B%283x-2%29%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-3%7D%7B%283x-2%29%5E%7B2%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%283x-2%29%7D%20" />
El último ejercicio es con la misma metodologia , solo que ahora tendrá una descomposición con 3 términos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B4x%5E%7B2%7D%20%2B7x-12%7D%7Bx%28x%2B2%29%28x-3%29%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7BA%7D%7Bx%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BB%7D%7Bx%2B2%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BC%7D%7Bx-3%7D%20%2F%20%2A%20x%28x%2B2%29%28x-3%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A4x%5E2%20%2B%207x%20-%2012%20%3D%20A%28x%2B2%29%28x-3%29%20%2B%20Bx%28x-3%29%20%2B%20Cx%28x%2B2%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A4x%5E2%20%2B%207x%20-%2012%20%3D%20%20A%28x%5E2%20-%20x%20%2B%206%29%20%2B%20B%28x%5E2%20-%203x%29%20%2B%20C%28x%5E2%20%2B%202x%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A4x%5E2%20%2B%207x%20-%2012%20%3D%20x%5E2%28A%2BB%2BC%29%20%2B%20x%28-A%20-%203B%20%2B%202C%29%20-%206A%20%20%20%20%20" />
Quedan los sistemas :
A + B + C = 4 - A - 3B + 2C = 7 - 6A = - 12
De la última ecuación ,
A = 2
Reemplazando en las otras dos ecuacipnes :
B + C = 2 / * 3 = > 3B + 3C = 6 - 3B + 2C = 9 = > - 3B + 2C = 9 + ____________
5C = 15
C = 3
Luego ,
B + 3 = 2
B = - 1
Así :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B4x%5E%7B2%7D%20%2B7x-12%7D%7Bx%28x%2B2%29%28x-3%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bx-3%7D%20" />
La mayoría de los ejercicios de fracciones parciales se hacen así , hay otros casos que se necesita modificar el numerador para hallar una solución logica , por ejemplo un denominador x * (x² + a) , tendrá 2 términos , a / x + bx + c / x² + a, el término en las fracciones parciales dependerá de la multiplicidad del factor y el grado , un ejemplo :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%20%2B%206x%5E%7B2%7D%20%2B%207x%20-%201%7D%7B%28x-3%29%5E%7B2%7D%28x-1%29%5E%7B3%7D%28x%5E2%2B2x%2B5%29%5E%7B3%7D%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0AR%28x%29%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7BA_%7B1%7D%7D%7B%28x-3%29%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BA_%7B2%7D%7D%7B%28x-3%29%5E%7B2%7D%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BB_%7B1%7D%7D%7B%28x-1%29%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BB_%7B2%7D%7D%7B%28x-1%29%5E%7B2%7D%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BB_%7B3%7D%7D%7B%28x-1%29%5E%7B3%7D%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7BC_%7B1%7Dx%20%2B%20D_%7B1%7D%7D%7B%28x%5E%7B2%7D%2B2x%2B5%29%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%2B%20%20%5Cfrac%7BC_%7B2%7Dx%20%2B%20D_%7B2%7D%7D%7B%28x%5E%7B2%7D%2B2x%2B5%29%5E%7B2%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BC_%7B3%7Dx%20%2B%20D_%7B3%7D%7D%7B%28x%5E%7B2%7D%2B2x%2B5%29%5E%7B3%7D%7D" />
Te dejo propuesto hallar los coeficientes de :
[img = 10]
así sacas como una formula general para las fracciones parciales de ese tipo.
Saludos.
6 / 25 dividido 12 / 5 = 1 / 10 6 / 25 x 5 / 12 1 / 5 x 1 / 2 Resultado = 1 / 10 B) 20 / 9 x 12 / 25 dividido 83 4 / 3x 4 / 5 x 1 / 83 16 / 1245 Formato alternativo : 0. 0128514 C) 15 / 8 dividido 9 15 / 8 x 1 / 9 5 / 8…
1)Que fracción se necesita para que la suma de la misma y seis novenos de como resultado 1? X + x + 6 / 9 = 1 2x + 6 / 9 = 1 2x = (9 - 6) / 9 x = 1 / 6 2)Que fracción se necesita para que la suma de la misma y tres…