Ayuda porfaDetermina un vector unitario que sea paralelo a v = (2, 6, - 3) y un vector unitario que sea perpendicular a u = (3, 2, - 1)?

Hola.

Entiendo que el problema pide un vector unitario paralelo a V, y otro vector unitario perpendicular a U, por lo que consta de dos partes.

A) V = (2, 6, - 3)

Llamaré V' a un vector paralelo y de magnitud 1.

Si V' es paralelo a V, significa que debe cumplir :

V' = α * V

Donde alpha es un número que pertenece a los Reales.

Expresamos en componentes :

V' = (2α, 6α, - 3α)

Como V' tiene de módulo 1, debe cumplir que la suma de sus componentes al cuadrado es la unidad.

(2α)² + (6α)² + ( - 3α)² = 1

Trabajando esto nos queda :

4α² + 36α² + 9α² = 1 ⇒ α = 1 / 7∨α = - 1 / 7

Eso quiere decir que podemos tomar cualquiera de los dos valores.

Arbitrariamente tomaré el positivo, por lo que v' queda definido :

V' = (2 / 7, 6 / 7, - 3 / 7)

Se puede comprobar que ese vector es paralelo a V y tiene módulo 1.

B) Necesitamos un vector que sea perpendicular a U = (3, 2, - 1).

Llamaré a este vector U', que debe cumplir con :

U'·U = 0

Porque son perpendiculares entre sí.

Luego expresaré en forma de componentes, llamándole U'₁ a la primera componente, U'₂ a la segunda y U'₃ a la tercera.

(U'₁, U'₂, U'₃)·(3, 2, - 1) = 0

Trabajando esa expresión :

3U'₁ + 2U'₂ - U'₃ = 0

Entonces cualquier terna que cumpla con esa ecuación, será un vector perpendicular a U.

Escogemos arbitrariamente U'₃ = 0, y U'₂ = 1 por ejemplo.

Eso significa que el vector cumple con :

3U'₁ + 2(1) - 0 = 0

Despejamos el valor de U₁ :

U'₁ = - 2 / 3

Ahora, necesitamos que este vector sea unitario.

Para lograrlo multiplicamos a nuestro vector por el inverso de su magnitud.

║U'║ = √[( - 2 / 3)² + (1)² + (0)²] = √13 / 3

Luego el vector transformado a uno unitario nos queda :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=U%27%20%3D%20%28%20%5Cfrac%7B-2%2F3%7D%7B%20%20%5Csqrt%7B13%7D%2F3%20%20%7D%20%2C%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B13%7D%2F3%20%7D%20%2C%20%5Cfrac%7B0%7D%7B%20%5Csqrt%7B13%7D%2F3%20%7D%20%29" />

Acomodando esto :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=U%27%20%3D%20%28%20-%5Cfrac%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%20%2C%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%20%2C0%29" />

Si quieres puedes racionalizar :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=U%27%20%3D%20%20%28%5Cfrac%7B2%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%7B13%7D%20%2C%20%20%5Cfrac%7B3%20%5Csqrt%7B13%7D%20%7D%7B13%7D%20%20%2C0%29" />

Nota que en el caso de hallar un vector paralelo y unitario a V, el problema tenía dos soluciones posibles (cuando escoges el alpha positivo y cuando es negativo).

En el caso del vector unitario perpendicular a U, el problema tiene infinitas soluciones, solo deben cumplir con la ecuación :

3U'₁ + 2U'₂ - U'₃ = 0

Puedes elegir dos valores arbitrarios y de esta expresión despejar el tercero.

Saludos.