Ayuda con este ejercicio?

Voy a resolver la inecuación suponiendo que la expresión original, del archivo que anexastes, es

| (5x + 2) / (x - 2) | < 5 / 3

Si la expresión no es esa, puedes seguir el procedimiento para llegar al resultado, ya que voy a darte la explicación detallada.

Lo primero es usar la definición de la función valor absoluto, | |, para eliminar las barras.

Eso te lleva a lo siguiente : - 5 / 3 < (5x + 2) / (x - 2) < 5 / 3

De donde se deriva que hay que resolver dos desigualdades>

1) (5x + 2) / (x - 2) < 5 / 3 y 2) (5x + 2) / (x - 2) > - 5 / 3

El resultado final debe cumplir con ambas desigualdades, así que el resultado final será la intersección de las soluciones de ambas inecuaciones.

Trabajemos la primera :

(5x + 2) / (x - 2) < 5 / 3

Debes restar 5 / 3 a ambos lados, para obtener :

(5x + 2) / (x - 2) - 5 / 3 < 0

Ahora, saca minimo comun denominador, 3(x - 2) :

[(5x + 2) (3) - 5(x - 2) ] / [3(x - 2) < 0

[15x + 6 - 5x + 10] / 3 [x - 2] < 0

Si multiplicas ambos lados por 3, este se simplifica y desaparece de la desigualdad :

[10x + 16] / [x - 2] < 0

La forma en que se cumpla esa desigualdad es que numerador y denominador tengan signos opuesetos, es decir>

A)10x + 16 > 0 y x - 2 < 0 ; o

B) 10x + 16 < 0 y x - 2 > 0

De A) obtenemos 10x + 16 > 0 = > x > - 8 / 5 y x < 2 ; es decir el intervalo

( - 8 / 5, 2)

De B) obtenemos 10x + 16 < 0 = > x > - 8 / 5 y x > 2, lo cual no es posible.

Entonces, tenemos como primer conjunto posible de solución el que obtuvimos de A) ( - 8 / 5, 2)

Ahora vamos a trabajar la segunda desigualdad :

(5x + 2) / (x - 2) > - 5 / 3

Sumamos 5 / 3 a ambos lados

(5x + 2) / (x - 2) + 5 / 3 > 0

Sacamos m.

C. m.

De los denominadores : 3(x - 2)

[(5x + 2)(3) + 5(x - 2)] / [3(x - 2) ] > 0

[ 15x + 6 + 5x - 10] / [x - 2] > 0

[20x - 4] / [x - 2] > 0

Cuya solución es que denominador y numerador sean ambos positivos o ambos negativos.

Si ambos son positivos :

20x - 4 > 0 y x - 2> 0

x > 1 / 5 y x > 2 = > x > 2, o sea (2, ∞)

Si ambos son negativos :

x < 1 / 5 y x < 2 = > x < 1 / 5, osea ( - ∞, 1 / 5)

Con lo que la solución de esta parte es ( - ∞, 1 / 5)∪ (2, ∞)

Como se dijo inicialmente, la solución final es la intersección de este intervalo con el intervalo de la solución para la primera parte es decir :

{( - ∞, 1 / 5)∪ (2, ∞) } ∩ ( - 8 / 5, 2)

Cuya solución es el intervalo ( - 8 / 5 , 1 / 5)

O sea, - 8 / 5 < x < 1 / 5

Esta solución no coincide con ninguna de las tres opciones de resultados motradas.

No sé si la desigualdad que escribiste está bien escrita o si faltó alguna opción de resultado.

Como te dije, el procedimiento explicado debería ayudarte a resolver cualquier inecuación de este tipo.