Ayuda con esta integral, detallado si es posible porque tengo la respuesta y no se como llegar?

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20_0%5E%7B%5Cpi%20%7D8%5Csin%20%5E4%5Cleft%28x%5Cright%29dx" />

Sacamos la constante de la integral definida :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D8%5Cint%20%5Csin%20%5E4%5Cleft%28x%5Cright%29dx" />

Aplicamos la reducción de integrales :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D8%5Cleft%28-%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cleft%28x%5Cright%29%5Csin%20%5E3%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cint%20%5Csin%20%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29dx%5Cright%29" />

Usamos la siguiente identidad :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin%20%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B1-%5Ccos%20%5Cleft%282x%5Cright%29%7D%7B2%7D" />

Por lo que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D8%5Cleft%28-%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cleft%28x%5Cright%29%5Csin%20%5E3%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cint%20%5Cfrac%7B1-%5Ccos%20%5Cleft%282x%5Cright%29%7D%7B2%7Ddx%5Cright%29" />

Sacamos la constante y aplicamos la regla de la suma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D8%5Cleft%28-%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cleft%28x%5Cright%29%5Csin%20%5E3%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%5Cint%20%5C%3A1dx-%5Cint%20%5Ccos%20%5Cleft%282x%5Cright%29dx%5Cright%29%5Cright%29" />

Tomamos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5C%3A1dx" />

Integral de una constante :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3Dx" />

Aplicamos la integración por sustitución :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cint%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cleft%28u%5Cright%29%7D%7B2%7Ddu" />

Sacamos la constate y aplicamos la regla de integración :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csin%20%5Cleft%282x%5Cright%29" />

Juntamos y simplificamos :

[img = 10]

Calculamos los limites :

[img = 11]

[img = 12]

y

[img = 13]

[img = 14]

Decimal = 9, 42.