Ayuda ?

Hola,

Algo para tener encuenta , la derivada de la función logaritmo natural es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20ln%28x%29%20%3D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20f%20%27%20%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20" />

Para estos ejercicios necesitas saber la derivada de un producto y de una división, sea :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20f%28x%29%20%5Ccdot%20g%28x%29%20%3D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20y%20%27%20%3D%20f%27g%20%2B%20fg%27%20%5C%5C%20%5C%5C%0Ay%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%20%3D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20y%27%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bf%27g%20-%20fg%27%7D%7Bg%5E%7B2%7D%7D%20%20" />

Y además saber utilizar la regla de la cadena.

Ejercicio 1)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%5Cfrac%7Blnx%7D%7Bx%5E2%7D" />

tomamos f = lnx y g = x ^ 2 = > f '(x) = 1 / x y g'(x) = 2x, entonces la derivada es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%27%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%5Ccdot%20x%5E%7B2%7D%20-%20lnx%20%5Ccdot%20%202x%20%7D%7B%28x%5E%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bx-2xlnx%7D%7Bx%5E4%7D%20%20" />

Ejercicio 2)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bln%28%20%5Csqrt%7B4%2Bx%5E%7B2%7D%7D%20%29%7D%7Bx%7D%20" />

Hay que tener cuidado con la regla de la cadena para el numerador, para evitar confusiones de nombre, tomemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%20%3D%20ln%28%20%5Csqrt%7B4%2Bx%5E%7B2%7D%7D%29%20%3D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20u%27%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B4%2Bx%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5Ccdot%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Csqrt%7B4%2Bx%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5Ccdot%202x%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%2Bx%5E%7B2%7D%7D%20%20%20%20" />

y

v = x = > v' = 1

Entonces la derivada sería :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bu%27v%20-%20uv%27%7D%7Bv%5E%7B2%7D%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%2Bx%5E%7B2%7D%7D%5Ccdot%20x%20-%20ln%28%20%5Csqrt%7B4%2Bx%5E%7B2%7D%7D%29%20%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%20" />

Para el ejercicio 3) podemos usar la regla del producto,

y = 2x (7x + 9) ^ 3

tomemos,

f = 2x y g = (7x + 9) ^ 3 = > f ' = 2 ; g' = 3(7x + 9) ^ 2 * 7 = 21(7x + 9) ^ 2

La derivada sería entonces :

y ' = 2 * (7x + 9) ^ 3 + 2x * 21(7x + 9) ^ 2

factorizando un poco,

y ' = (7x + 9) ^ 2 ( 2(7x + 9) + 42x)

El último ejercicio,

4) ln((1 - x) ^ 2) [ hice la suposición de que el ^ 2 está dentro del argumento, si estuviera afuera cambiaría la derivada]

Por propiedades del logaritmo podemos reescribir la función como,

y = 2ln(1 - x) = > y ' = 2 * (1 / (1 - x)) * - 1

y' = - 2 / (1 - x)

Salu2 : ).