APROXIMACIÓN POLINÓMICA?

Bueno en esencia esta es la fórmula <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0Af%28x%29%5Csim%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bp%7D%5Cdfrac%7Bf%5E%7B%5C%7Bn%5C%7D%7D%28a%29%7D%7Bn%21%7D%28x-a%29%5En%2Bo%28%28x-a%29%5Ep%29" />

Donde f es una función al menos p - veces diferenciable en el entorno <img src="https://tex.z-dn.net/?f=U%28a%29" />.

En este caso<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%281%2Bx%29%5E5" /> es infinitas veces diferenciable en cualquier punto.

Aproximémoslo a una cuadrática en el entorno de x = 0

Hallemos las derivadas y evaluémosla en x = 0 <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%280%29%3D1%5C%5C%0Af%27%28x%29%3D5%281%2Bx%29%5E4%5Cto%20f%27%280%29%3D5%5C%5C%0Af%27%27%28x%29%3D20%281%2Bx%29%5E3%5Cto%20f%27%27%280%29%3D20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cdisplaystyle%0A%281%2Bx%29%5E5%5Csim%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B2%7D%5Cdfrac%7Bf%5E%7B%5C%7Bn%5C%7D%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5En%2Bo%28x%5E2%29%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%281%2Bx%29%5E5%5Csim%20%5Cdfrac%7Bf%280%29%7D%7B0%21%7Dx%5E0%2B%5Cdfrac%7Bf%27%280%29%7D%7B1%21%7Dx%5E1%2B%5Cdfrac%7Bf%27%27%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E2%2Bo%28x%5E2%29%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7B%281%2Bx%29%5E5%5Csim%201%2B5x%2B10x%5E2%2Bo%28x%5E2%29%7D%0A" />.