Aplicaciones de la Derivada?

Una función es creciente en todos los puntos en que su primera derivada es positiva, decreciente si es negativa, estacionaria si es nula

1) f '(x) = 5 ; positiva en todos los puntos.

2) f '(x) = 2 x + 2 > 0 ; x > - 1 / 2, creciente.

X < - 1 / 2, decreciente ; x = - 1 / 2, estacionaria

3) f '(x) = 3 x² + 1 > 0 ; positivo para todo x.

La función es creciente en todo su dominio de definición

Puntos críticos.

1) f '(x) = 2 x + 4 = 0 ; x = - 2 ; hay un punto crítico en x = - 2

f( - 2) = 4 - 8 = - 4 ; punto crítico ( - 2, - 4)

Hay otro punto crítico en x = 2 (pertenece al dominio)

f(2) = 4 + 8 = 12 ; punto crítico (2, 12)

2) f '(x) = 2 x - 3 = 0 ; x = 3 / 2 ; f(x) = - 9 / 4 ;

Punto crítico es (3 / 2, - 9 / 4) (es un mínimo)

3) f '(x) = 3 x² - 6 x = 0 ; hay dos puntos críticos : x = 0, x = 2

f(0) = 4 ; f(x) = 0 ; (0, 4) máximo relativo ; (4, 0) mínimo relativo

Segunda parte.

1) f '(x) = 6 x - 18 = 0 ; x = 3 (punto crítico)

Criterio : si la primera derivada pasa de positiva a negativa en el punto crítico, hay un máximo ; a la inversa hay un mínimo.

F '(2, 9) = - 0, 6 ; f '(3, 1) = 0, 6 ; hay un mínimo

2)f '(x) = x² + 4 x - 12 = 0 ; puntos críticos en x = - 6 ; x = 2

f '( - 6, 1) = 0, 81 ; f '( - 5, 9) = - 0, 79 ; máximo

f '(1, 9) = - 0, 79 ; f '(2, 1) = 0, 81 ; hay un mínimo

Máximo f( - 6) = 72 ; mínimo f(2) = - 40 / 3

Criterio de la segunda derivada.

Si la segunda derivada en el punto crítico es negativa, hay un máximo ; a la inversa, hay un mínimo.

Si es nula no hay máximo ni mínimo

1) f '(x) = 3 x² - 2 x - 1 = 0 ; puntos críticos en x = - 1 / 3, x = 1

f ''(x) = 6 x - 2 ; f ''( - 1 / 3) = - 4, negativa, máximo

f ''(1) = 4 ; positiva, mínimo

Máximo f( - 1 / 3) = 32 / 27 ; Mínimo f(1) = 0

2) f '(x) = x³ + 9 x² + 18 x ; f ''(x) = 3 x² + 18 x + 18

f '(x) = 0, puntos críticos ; x = - 6 ; x = - 3 ; x = 0 ;

f ''( - 6) = 18 ; hay unmínimo

f ''( - 3) = - 9 ; hay un máximo (relativo, no absoluto)

f ''(0) = 18 ; hay un mínimo

Valores críticos : f( - 6) = 0 ; f( - 3) = 81 / 4 ; f(0) = 0

Se adjunta gráfico de esta última función.

Revisa por si hay errores.

Saludos Herminio.