Analizar las continuidades y su clasificación?

En este caso se analizan los límites en el punto de cambio de rama.

Si los límites coinciden, decimos que el límite existe en ese punto, si además la función en ese punto está definida, entonces la función es continua en ese punto, si el límite no existe la discontinuidad es no salvable, en cambio si existe pero la función no está definida allí es una discontinuidad salvable.

Empezamos a resolver.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%2B3%2C%20x%3E2%7D%20%5Catop%20%7B2x-1%7D%2C%20x%E2%89%A42%7D%20%5Cright." />2} \ atop {2x - 1}, x≤2} \ right.

" alt = "f(x) = \ left \ { {{x + 3, x>2} \ atop {2x - 1}, x≤2} \ right.

" align = "absmiddle" class = "latex - formula">Aquí hallamos los límites cuando ambas ramas tienden a 2 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%7D%20%28x%2B3%29%20%3D%205%5C%5C%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%202%7D%20%282x-1%29%20%3D%203" />f(x) tiene una discontinuidad no salvable en x = 2 ya que no existe el límite (límites laterales no coincidentes)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%3D%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx-1%7D%20%7D%7B3x-3%7D%2Cx%3E1%20%5Catop%20%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B6%7D%20%7D%2C%3E%3D1%7D%20%5Cright." />1 \ atop { \ frac{x}{6} }, > = 1} \ right.

" alt = "g(x) = \ left \ { { \ frac{ \ sqrt{x - 1} }{3x - 3}, x>1 \ atop { \ frac{x}{6} }, > = 1} \ right.

" align = "absmiddle" class = "latex - formula">Analizamos el límite de la primera rama : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bn%20%5Cto%201%7D%20%20%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx-1%7D%20%7D%7B3x-3%7D%29%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%201%7D%20%20%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx-1%7D%20%7D%7B3%28x-1%29%7D%29%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%201%7D%20%20%28%5Cfrac%7B1%20%7D%7B3%5Csqrt%7Bx-1%7D%20%7D%29" />El límite diverge en esta rama tendiendo a infinito ya que como vemos x = 1 es una asíntota vertical, g(x) tiene en x = 1 una discontinuidad insalvable porque no existe el límite (la función es divergente)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%28x%29%20%3D%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2Cx%3C1%20%7D%20%5Catop%20%7B%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%2Cx%3E%3D1%20%7D%7D%20%5Cright." />Analizamos los límites : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bn%20%5Cto%201%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%3D%201%5C%5C%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%201%7D%20%5Csqrt%7Bx%2B1%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7D" />Los límites laterales no coinciden, por lo que h(x) tiene una discontinuidad insalvable en x = 1 porque no existe el límite (límites laterales no coincidentes)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%28x%29%3D1%2C%20x%3C0%3B%20x%5E%7B2%7D%20%2B1%2C%200%3Cx%3C%3D1%3B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B1%7D%20x%3E1" />El primero punto de cambio de rama es x = 0, vamos a analizar los límites ahí : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bn%20%5Cto%200%7D%201%20%3D%201%5C%5C%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%200%7D%20%28x%5E%7B2%7D%20%2B1%29%20%3D1%20%5C%5C" />Existe el límite y la función está definida en ese punto (las funciones polinómicas están definidas para todos los reales).

La función es continua en x = 0, ahora vamos a analizar en x = 1, otro punto de cambio de ramas : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bn%20%5Cto%201%7D%20%28x%5E%7B2%7D%2B1%20%29%20%20%3D%202%5C%5C%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%201%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%20%3D" />Tenemos que mientras el límite existe para <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D%20%2B1" />, la otra rama diverge para x = 1 hacia una asíntota vertical.

No existe el límite en x = 1.

La función presenta una discontinuidad no salvable en x = 1.