Alguien me puede ayudar en cálculo?

Lim √(x² + x + 1) - √(x² - x + 1) = 1

x→ + ∞

Trabajemos la expresión √(x² + x + 1) - √(x² - x + 1) :

Multiplicando por el modulo del producto (1) como

(√(x² + x + 1) + √(x² - x + 1)) / (√(x² + x + 1) + √(x² - x + 1)) :

√(x² + x + 1) - √(x² - x + 1) = √(x² + x + 1) - √(x² - x + 1) (√(x² + x + 1) + √(x² - x + 1)) / (√(x² + x + 1) + √(x² - x + 1))

En el numerador obtenemos la factorización de una diferencia de cuadrados : = √(x² + x + 1) - √(x² - x + 1)(√(x² + x + 1) + √(x² - x + 1)) / (√(x² + x + 1) + √(x² - x + 1)) = (√(x² + x + 1))² - (√(x² - x + 1))² / (√(x² + x + 1) + √(x² - x + 1))

Desarrollando las operaciones en el numerador y factorizando un x² en cada radical :

(√(x² + x + 1))² - (√(x² - x + 1))² / (√(x² + x + 1) + √(x² - x + 1)) = x² + x + 1 - x² + x - 1 / (√x²(1 + 1 / x + 1 / x²) + √x²(1 - 1 / x + 1 / x²)) = 2x / x(√(1 + 1 / x + 1 / x²) + √(1 - 1 / x + 1 / x²))

Volviendo al limite :

lim √(x² + x + 1) - √(x² - x + 1) =

x→ + ∞

lim 2 / (√(1 + 1 / x + 1 / x²) + √(1 - 1 / x + 1 / x²))

x→ + ∞

Notemos que cuando x tiende a infinito tanto 1 / x como 1 / x² van para 0.

Luego :

lim 2 / (√(1 + 1 / x + 1 / x²) + √(1 - 1 / x + 1 / x²)) = 2 / (√(1 + 0 + 0) + √(1 - 0 + 0)) = 2 / (√1 + √1)

x→ + ∞ = 2 / 2 = 1.