AlgebraSi :a + b + c = 7ab + bc + ac = 9(ab)² + (bc)² + (ac)² = 11Determinar el valor de : (a³ + b³ + c³)?
Algebra Si : a + b + c = 7 ab + bc + ac = 9 (ab)² + (bc)² + (ac)² = 11 Determinar el valor de : (a³ + b³ + c³).
Mejor respuesta
Hola c : ,
Para hallara³ + b³ + c³ , algo debe estar al cubo ,
Entonces :
a + b + c = 7 / ³
a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3bc² + 3b²c + 6abc = 7³
a³ + b³ + c³ + 3(a²b + a²c + ab² + ac² + bc² + b²c + 2abc) = 7³
a³ + b³ + c³ = 7³ - 3(a²b + a²c + ab² + ac² + bc² + b²c + 2abc) [❶]
Ahora tenemos que dejar lo del paréntesis en función de las cosas que nos dan :
Si multiplicamos :
(a + b + c)(ab + ac + bc) = a²b + a²c + ab² + 3abc + ac² + b²c + bc²
Si despejamos :
(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc = a²b + a²c + ab² + ac² + b²c + bc²
( es bien parecido a lo del paréntesis)
Reemplazando en❶ :
a³ + b³ + c³ = 7³ - 3((a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc + 2abc)
a³ + b³ + c³ = 7³ - 3( (a + b + c)(ab + ac + bc) - abc)
De las ecuaciones se sabe que a + b + c = 7 y ab + ac + bc = 9
a³ + b³ + c³ = 7³ - 3( 7 * 9 - abc) [❷ ]
Aún falta el término abc que es desconocido ,
Si tomamos la ecuación :
ab + bc + ac = 9 / Elevamos al cuadrado
( (ab)² + (bc)² + (ac)²) + 2abc(a + b + c) = 81
Despejando :
abc = 81 - ( (ab)² + (bc)² + (ac)²) ______________________ 2(a + b + c)
Reemplazando con los valores dados :
abc = 81 - 11 ________ 2 * 7
abc = 5
Reemplazando en [❷] :
a³ + b³ + c³ = 7³ - 3( 7 * 9 - 5)
a³ + b³ + c³ = 343 - 174
a³ + b³ + c³ = 169
Saludos.
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