AlgebraSi :a + b + c = 7ab + bc + ac = 9(ab)² + (bc)² + (ac)² = 11Determinar el valor de : (a³ + b³ + c³)?

Hola c : ,

Para hallara³ + b³ + c³ , algo debe estar al cubo ,

Entonces :

a + b + c = 7 / ³

a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3bc² + 3b²c + 6abc = 7³

a³ + b³ + c³ + 3(a²b + a²c + ab² + ac² + bc² + b²c + 2abc) = 7³

a³ + b³ + c³ = 7³ - 3(a²b + a²c + ab² + ac² + bc² + b²c + 2abc) [❶]

Ahora tenemos que dejar lo del paréntesis en función de las cosas que nos dan :

Si multiplicamos :

(a + b + c)(ab + ac + bc) = a²b + a²c + ab² + 3abc + ac² + b²c + bc²

Si despejamos :

(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc = a²b + a²c + ab² + ac² + b²c + bc²

( es bien parecido a lo del paréntesis)

Reemplazando en❶ :

a³ + b³ + c³ = 7³ - 3((a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc + 2abc)

a³ + b³ + c³ = 7³ - 3( (a + b + c)(ab + ac + bc) - abc)

De las ecuaciones se sabe que a + b + c = 7 y ab + ac + bc = 9

a³ + b³ + c³ = 7³ - 3( 7 * 9 - abc) [❷ ]

Aún falta el término abc que es desconocido ,

Si tomamos la ecuación :

ab + bc + ac = 9 / Elevamos al cuadrado

( (ab)² + (bc)² + (ac)²) + 2abc(a + b + c) = 81

Despejando :

abc = 81 - ( (ab)² + (bc)² + (ac)²) ______________________ 2(a + b + c)

Reemplazando con los valores dados :

abc = 81 - 11 ________ 2 * 7

abc = 5

Reemplazando en [❷] :

a³ + b³ + c³ = 7³ - 3( 7 * 9 - 5)

a³ + b³ + c³ = 343 - 174

a³ + b³ + c³ = 169

Saludos.