(2 ala 3?

La tablababilónicaYBC 7289 (c.

2000 - 1650a.

C. ) proporciona una aproximación de√2en cuatro dígitossexagesimales, que es similar a seis cifrasdecimales : 3.

Otra aproximación antigua a este número irracional se da en laantigua Indiaen el texto matemáticoBaudhaiana - sulba - sutra(entre el 600 y el 300a.

C. ) diciendo : Incrementa la longitud [del lado] por su tercera parte, y su tercera por sus tres cuartas y su tercera por su treinta y cuatroava parte de cuatro.

4Esto esEl descubrimiento de la raíz cuadrada de 2 como unnúmero irracionalse atribuye generalmente alpitagóricoHipaso de Metaponto, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad.

La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo.

Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales.

Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

El matemático griegoTeeteto(417 a.

C. - 369 a.

C) proponía el problema de encontrar el lado de un cuadrado, cuya área sea el doble del área de un cuadrado de lado.

Cuya solución conlleva la aparición de la raíz cuadrada de dos.

5Algoritmo computacional[editar]Existen muchos algoritmos empleados para la aproximación de cuadrada de 2.

El más común de los algoritmos para averiguar una aproximación en computadores o calculadoras es el denominado método babilónico6de cálculo de las raíces cuadradas, siendo éste uno de los muchos empleados para elcálculo de raíces cuadradas.

Funciona como sigue : Se toma en primer lugar un valor arbitrario, que denominaremos, ; esta primera aproximación importa poco, es considerada sólo como un punto de comienzo del algoritmo y afecta en cuantas iteraciones debe hacer el algoritmo hasta alcanzar la aproximación con una precisión requerida.

Entonces, empleando esta suposición inicial, se procede a iterar mediante la siguiente cómputorecursivo : Cuanto más iteraciones se hagan mediante este algoritmo (es decir más cálculos con un valor de n grande), se obtendrá una mejor aproximación del valor real de raíz cuadrada de 2.

El valor de√2ha sido calculado hasta 137438953444 posiciones decimales por el equipo deYasumasa Kanadaen el año1997.

Entre las constantes matemáticas con cifras no periódicas, sóloπha sido calculado con mayor precisión.

7Pruebas de irracionalidad[editar]Existen varias pruebas de la irracionalidad de√2basadas en el método deldescenso infinitoy en el método dereducción al absurdo, que se fundamenta en suponer que√2es unnúmero racionaly llegar, utilizando razonamientos rigurosamente correctos, a una contradicción, lo que hace concluir que la primera suposición tiene que ser falsa.

Prueba geométrica[editar]Se fundamenta en el método deldescenso infinito.

Es una construcción geométrica clásica deregla y compás, probando el teorema por un modo muy similar a como lo hacían los antiguos geómetras griegos.

SeaABCun triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa de longitud demy catetos de longitudn.

Por elteorema de Pitágoras, n² + n² = m² ; 2n² = m² ; √2 = m / n.

Supongamos quemynsonnúmeros enteros.

Trazamos los arcosBDyCEcon centro enA.

UnimosDE.

Se sigue queAB = AD, AC = AEy el ∠BACy el ∠DAEcoinciden.

Por lo tanto los triángulosABCyADEsoncongruentespor tener dos lados iguales y el ángulo comprendido también.

Como ∠EBFes un ángulo recto y ∠BEFes la mitad de un recto, BEFes también un triángulo rectángulo isósceles.

Se cumple queBE = BF = m−n.

Razonando análogamente, FDCes también un triángulo rectángulo isósceles, con catetosDF = DC = m−n, y con hipotenusaFC = n−(m−n) = 2n−m, que son números también enteros y menores anymrespectivamente.

Al serABCyFDCdos triángulos semejantes podemos repetir el anterior proceso de forma recurrente.

Con las longitudes de las hipotenusas y con las de los catetos de los sucesivos triángulos, obtenemos dos sucesiones de números enteros estrictamente decrecientes que no son finitas, lo cual es imposible porque sinymson enteros debe existir una fracción irreducible.

Esta contradicción nos hace concluir que la suposición de quemynson números enteros es falsa y que√2no puede ser una fracciónconmynenteros, por tanto√2tiene que ser un número irracional.