15x² - 8x + 1 = 0 con comprobación por favor?

Voy a resolver la ecuación cuadrática por medio de la factorización.

1) Como es más fácil factorizar un trinomio de la forma x² + bx + c = 0 podemos hacer un cambio de variable multiplicado por un "1" que tendrá la forma de 15 / 15 de la siguiente forma.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B15%28%2015%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20-%208x%20%2B%201%29%20%7D%7B15%7D%20%3D%200" />

Ahora lo que haremos será multiplicar el "15" del numerador de tal forma que puedamos hacer un cambio de variable y llevar a un polinomio de la forma x² + bx + c donde la nueva variable será de la forma (ax) y quedé un polinomio de esta forma (ax)² + b(ax) + c = 0

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28%20%7B%2815x%29%7D%5E%7B2%7D%20-%208%2815x%20%29%2B%2015%29%20%7D%7B15%7D%20%3D%200" />

Ahora podemos factorizar como un trinomio de la forma x² + bx + c = 0 buscando dos números que multiplicados den "c" y sumados den "b".

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%2815x%20-%205%29%2815x%20-%203%29%7D%7B15%7D%20%3D%200" />

Ahora debemos quitar ese "15" que está dividiendo, y podemos factorizar números de cada término que encontramos en la factorización.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B5%283x%20-%201%293%285x%20-%201%29%7D%7B5%20%5Ctimes%203%7D%20%3D%200%20" />

Podemos simplificar las constantes y así quitar el "15" del denominador.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%283x%20-%201%29%285x%20-%201%29%20%3D%200" />

Ahora sólo aplicamos el teorema del factor nulo y podemos encontrar las soluciones.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%283x%20-%201%29%285x%20-%201%29%20%3D%200" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%203x1%20-%201%20%3D%200%20%5C%5C%203x1%20%3D%201%20%5C%5C%20x1%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=5x2%20-%201%20%3D%200%20%5C%5C%205x2%20%3D%201%20%5C%5C%20x2%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20" />

Ahora sólo falta comprobar.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=15%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20-8x%2B1%3D0%20%5C%5C%2015%20%7B%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%29%7D%5E%7B2%7D%20-%208%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%29%20%2B%201%20%5C%5C%2015%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%20%29%20-%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%2B%201%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B15%7D%7B9%7D%20-%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%2B%201%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B9%7D%7B9%7D%20-%201%20%3D%200" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=15%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20-8x%2B1%3D0%20%5C%5C%2015%20%7B%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20%29%7D%5E%7B2%7D%20-%208%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20%29%20%2B%201%20%5C%5C%2015%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B25%7D%20%29%20-%20%5Cfrac%7B8%7D%7B5%7D%20%2B%201%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B15%7D%7B25%7D%20-%20%5Cfrac%7B8%7D%7B5%7D%20%2B%201%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%20-%20%5Cfrac%7B8%7D%7B5%7D%20%2B%201%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%20-%205%7D%7B5%7D%20%2B%201%20%3D%200%20" />

Se cumple para las dos raíces.

Espero haber ayudado.